Contamos con el resultado a este inconveniente, al menos eso esperamos. Si sigues con dudas deja tu comentario y sin dudarlo te responderemos
Solución:
Tengo una idea de cómo modelar el problema. Fíjate en la imagen: cuando la pelota rebota, se puede pensar que entra en una piscina virtual situada junto a la que proviene. Ahora, pensando en un sistema de coordenadas cuyo origen está en la esquina inferior izquierda, las esquinas de las tablas tienen coordenadas $(nx, my)$ con $n, m in mathbb N$, y quieres que sean iguales para que puede ser tocado por la pelota que viaja a $45°$. Entonces $nx=my$ para algunos $m, n$, eso es $n/m = y/x$. Creo que esto está dando la solución: para llegar alguna vez a otra esquina, los lados de la mesa deben ser conmensurables. Y el número de rebotes es $n+m-2$.
Configuremos esto en un plano de coordenadas. Solo por conveniencia, voy a hacer que la pelota se lance desde la esquina inferior izquierda para que pueda dejar que el origen sea el punto de lanzamiento. Luego, deje que la esquina superior izquierda sea $(0,y)$, la esquina inferior derecha sea $(x,0)$ y la esquina superior derecha sea $(x,y)$. Hagamos $xgt y$ (estamos evitando el caso trivial $x=y$ cuando es un cuadrado, ya que irá directamente a la esquina opuesta). Entonces el primer rebote ocurrirá en el punto $(x,x)$.
Esto es lo que debemos hacer para que este problema sea manejable. En lugar de que la pelota rebote en los lados izquierdo y derecho, la tendremos pasar a través de ellos como portales y salen por el lado opuesto. Esto no afectará si la pelota llega o no a una esquina.
Entonces solo queremos contar los rebotes en la parte superior e inferior de la tabla, ya que la izquierda y la derecha ahora son “portales”. En este caso, cada rebote ocurrirá en un múltiplo de $y$. la abscisa de la norteEl rebote será $$yn bmod x$$ y el rebote final en el hoyo será cuando $$yn bmod x=0$$ y el $n$ más pequeño para el cual esto es true es $$n_h=fracxGCD(x,y)$$ Entonces el número de rebotes en la parte superior e inferior es $n_h$. Entonces el número de rebotes laterales es el número de veces que la pelota pasa por el “portal”, que es $$fracyn_hx-1$$ excluyendo el rebote final en el hoyo, ya que el número de rebotes verticales cuenta eso. Entonces el número total de rebotes es $$n_h+fracyn_hx-2$$ donde $x gt y$ y $n_h=fracxGCD(x,y)$.
Esta expresión se puede simplificar a $$fracx+yGCD(x,y)-2$$ Y, si asumimos que $x$ y $y$ son primos relativos, $$x+y- 2$$
Pero espera… ¿una mesa de billar no tiene bolsillos laterales?
De acuerdo, siguiendo el razonamiento utilizado anteriormente, la bola entrará en una tronera lateral cuando $$yn bmod x=frac12x$$ Entonces, por supuesto, esto solo puede suceder cuando $x$ es incluso. Podemos cambiar esto a $$2yn bmod 2x=x$$ Esto es lo mismo que cuando $$frac2yn-x2x$$ es un número entero. Si simplificamos esto a $$fracynx-frac12$$ Si asumimos nuevamente que $x$ y $y$ son primos relativos, entonces tenemos que el $n más pequeño $ por lo que esto es true debe ser $$n_h=fracx2$$ Sin embargo, esto solo puede ocurrir cuando $x$ es par. Si tenemos que $n_h=x$, entonces el número de rebotes en la parte superior e inferior es $$fracx2-1$$ y la distancia total recorrida por la pelota horizontalmente es $$frac yx2$$ por lo que el número de rebotes en los lados izquierdo y derecho es $$lfloorfracyx2xrfloor$$ $$lfloorfracy2rfloor$ $ y el número total de rebotes es entonces $$fracx2+lfloorfracy2rfloor-1$$ Que, dadas nuestras suposiciones, se puede simplificar a $$frac x2+fracy2-frac32$$ $$fracx+y-32$$ Y así, si hacemos $b (x,y)$ sea una función que tome dos números enteros relativamente primos como argumentos y emita el número de rebotes realizados por la bola de billar lanzada sobre una mesa con esas longitudes de lado, obtenemos $$ b(x,y) = izquierda{beginalineado fracx+y-32 && 2|x\ x+y-2 && else endalineado right.$$