Hola usuario de nuestro sitio, descubrimos la solución a lo que buscabas, desplázate y la obtendrás más abajo.
Solución:
Suponer $theta$ es la cantidad desconocida de interés. Una condición necesaria y suficiente para un estimador insesgado (suponiendo que exista) de alguna función paramétrica $g(theta)$ para ser UMVUE es que no debe estar correlacionado con cada estimador insesgado de cero (asumiendo, por supuesto, que el estimador insesgado tiene un segundo momento finito). Podemos usar este resultado para probar la unicidad de UMVUE siempre que exista.
Si es posible, suponga $T_1$ y $T_2$ son ambas UMVUE de $g(theta)$.
Entonces $T_1-T_2$ es un estimador insesgado de cero, por lo que por el resultado anterior tenemos
$$nombre del operadorCov_theta(T_1,T_1-T_2)=0quad,,para todos,theta$$
O, $$operatornameVar_theta(T_1)=operatornameCov_theta(T_1,T_2)quad,,forall,theta$$
Por lo tanto, $$nombre del operadorCorr_theta(T_1,T_2)=fracnombre del operadorCov_theta(T_1,T_2)sqrtnombre del operadorVar_theta (T_1)sqrtnombre del operadorVar_theta(T_2)=sqrtfracnombre del operadorVar_theta(T_1)nombre del operadorVar_ theta(T_2)quad,,forall,theta$$
Ya que $T_1$ y $T_2$ tienen la misma varianza por suposición, correlación entre $T_1$ y $T_2$ es exactamente $1$. En otras palabras, $T_1$ y $T_2$ están relacionados linealmente, es decir, para algunos $a,b(ne 0)$, $$T_1=a+bT_2 quad,text ae $$
Tomando la varianza en ambos lados de la ecuación anterior se obtiene $b^2=1$, o $b=1$ ($b=-1$ no es válido porque eso conduce a $T_1=2g(theta)-T_2$ ae en tomar expectativa, que no puede ser true como $T_1,T_2$ no dependas de $theta$). Entonces $T_1=a+T_2$ ae y eso lleva a $a=0$ en tomar expectativa. Por lo tanto, $$T_1=T_2quad,text ae $$
El teorema de Lehman-Scheffe dice que la expectativa condicional de un estimador insesgado dada una estadística suficiente completa es el mejor estimador insesgado único.
Una estadística suficiente completa para una familia de distribuciones de probabilidad es única en el sentido de que, dado el valor de cualquiera de ellas, puede calcular el valor de otra sin saber de qué distribución de probabilidad dentro de la familia se está muestreando. Por ejemplo, la pareja
$$ left(X_1+cdots+X_n,X_1^2+cdots+X_n^2right) etiqueta 1 $$
es suficiente para una muestra iid de la familia $\,N(mu,sigma^2) : muinmathbb R, sigmainmathbb R^+,$. Así es la pareja
$$ left(bar X = fracX_1+cdots+X_nn, (X_1-bar X)^2+cdots+(X_n-bar X)^2right) tag 2 $ PS
Observe que dado el par $(1)$, puedes calcular el par $(2)$ sin conocer los valores de $mu$ y $sigma^2$, y viceversa. En ese sentido son equivalentes. Además tampoco $(1)$ o $(2)$ es completa en el sentido de que no admite ningún estimador insesgado de cero.
En consecuencia, si encuentra la expectativa condicional de cualquier estimador insesgado de cualquier función de $mu$ y $sigma^2$ dado $(1)$, obtienes lo mismo que si encontraras la expectativa condicional dada $(2)$. De ahí que la UMVUE sea única.
Al final de todo puedes encontrar las referencias de otros gestores de proyectos, tú igualmente eres capaz dejar el tuyo si lo deseas.