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Solución:
Suponga una función periódica arbitraria $f(t)$ con periodo $T$. Considere la representación de la serie de Fourier de $f(t)$, en la que $omega_0=frac2piT$: $$f(t)=sum_n=-infty^+ inftyc_n e^in omega_0 t$$ Toma la transformada de Fourier de los lados: beginalign mathcalFf(t)=&mathcalF\ sum_n=-infty^+inftyc_n e^in omega_0 t\ =&sum_n=-infty^+inftyc_nmathcalF e^en omega_0 t\ F(omega)=&2pisum_n=-infty^+inftyc_ndelta(omega-nomega_0) endalign Esto significa que la transformada de Fourier de una señal periódica es un tren de impulsos donde las amplitudes de los impulsos son $2pi$ veces los coeficientes de Fourier de esa señal.
Con $f(t)=delta(t)$, los coeficientes de la serie de Fourier son $c_n=frac1T$ para todo $n$.
Por lo tanto, $$mathcalF\sum_n=-infty^+inftydelta(t-nT)=frac2piT sum_n =-infty^+inftydelta(omega-nomega_0)$$ o en notación peine: $$boxedmathcalF\textpeine_T(t) =omega_0 textpeine_omega_0(omega)$$
donde $$textpeine_A(x)triangleqsum_n=-infty^+inftydelta(x-nA)$$
Explicación intuitiva
El peine es una suma de Time Shifted Dirac Delta.
Se sabe que la transformada de Fourier de un delta de Dirac es una constante.
Se sabe que la transformada de Fourier de una función desplazada en el tiempo es la transformada de Fourier de la función multiplicada por un factor exponencial complejo que es $ exp(-i 2 pi f T) $
Simplemente aplique estos puntos a la función Comb considerada como una suma de Delta de Dirac desplazada en el tiempo con una distancia $ kT $ y obtendrá una suma de funciones exponenciales desplazadas en frecuencia, cada una de las cuales multiplicada por una constante.
Finalmente, use la fórmula de Euler para considerar exponenciales complejas como una función sinusoidal periódica y observe que tiene interferencia constructiva solo en frecuencias que son múltiplos enteros de $ frac1T $
Si posees alguna sospecha y forma de progresar nuestro tutorial te mencionamos ejecutar una explicación y con gusto lo leeremos.