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Solución:
La ecuación de Londres casi se sigue del modelo de conductividad de Drude y de las ecuaciones de Maxwell. Así es cómo.
En el modelo de Drude, asumimos que los electrones que se mueven a través de un metal están sujetos a dos interacciones. Primero, experimentan una cierta fuerza $vecF$ y aceleran en respuesta a ella. En segundo lugar, existe la probabilidad de que un electrón golpee un núcleo. Cuando esto sucede, asumimos que se detiene en seco. En una cantidad de tiempo $Delta t$, suponemos que esta probabilidad es de aproximadamente $Delta t/tau$.
Con base en estas suposiciones, no es demasiado difícil demostrar que la cantidad de movimiento total $vecp$ de un grupo de portadores de carga en algún volumen de un metal se rige por la ecuación $$ fracd vecp dt = – frac1tau vecp + vecF. $$ Pero el momento de estos portadores de carga es proporcional a la densidad de corriente en el metal ($vecJ propto vecp$), y la fuerza sobre ellos es proporcional al campo eléctrico ($vec E propto vecF$). Si ponemos todas las constantes apropiadas, esta ecuación se puede reorganizar para convertirse en $$ fracpartial vecJpartial t = – frac1tau vecJ + fracnq^2m vecE, $$ donde $n$, $q$ y $m$ son la densidad numérica, la carga y la masa de los portadores de carga (respectivamente). Para una corriente de estado estable ($dotvecJ = 0$), esto implica que $$ vecJ = fracnq^2 taum vecE , $$ que se puede reconocer como la versión microscópica de la Ley de Ohm, con $sigma = nq^2 tau/m$.
Sin embargo, un conductor perfecto es aquel donde $tau to infty$. Esto implica que $$ fracpartial vecJpartial t = fracnq^2m vecE, $$ Si tomamos el rotacional de esta ecuación, y aplicando la Ley de Faraday, tenemos $$ fracpartialpartial t (vecnabla times vecJ) = fracnq^2m vecnabla times vecE = – fracnq^2m fracparcial vecBparcial t. $$ Por lo tanto, debemos tener $$ vecnabla times vecJ + fracnq^2m vecB = textconstante con respecto a $t$. $$
Hasta ahora no hemos usado nada más que el modelo de Drude y las ecuaciones de Maxwell. La suposición fundamental de la ecuación de Londres (y la parte que no no seguir de las ecuaciones de Maxwell) es que la constante en esta última ecuación es exactamente cero:
$$ vecnabla times vecJ + fracnq^2m vecB = 0. $$ Una vez que tenemos esto, podemos mostrar que $vec B$ casi desaparece dentro de la mayor parte de un superconductor. Si tomamos el rizo de la Ley de Ampere y asumimos static campos, no es muy difícil mostrar que tenemos $$ nabla^2 vecB = fracmu_0 nq^2m vecB $$ lo que implica que $vecB $ debe morir o crecer exponencialmente dentro de un superconductor. Crecer exponencialmente está fuera de lugar, por lo que debe ser el caso de que los campos magnéticos decaigan a medida que te adentras en un superconductor. La escala de longitud característica para esta mortandad es $lambda = sqrtm/mu_0 nq^2$, y esto resulta ser del orden de unas pocas docenas de nanómetros para la mayoría de los superconductores.
La primera parte del argumento simplemente dice que el efecto Meissner no puede explicarse simplemente como una consecuencia de la conductividad perfecta. Es un fenómeno físico independiente que debe explicarse por separado. No está diciendo que toda la teoría del electromagnetismo no se pueda aplicar a los superconductores.
El segundo argumento usa las ecuaciones de London para explicar cómo ocurre el efecto Meissner. Como parte de ese argumento, claramente debe describir el campo magnético. La descripción matemática de ese campo viene dada, como siempre, por las ecuaciones de Maxwell.
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