Solución:
No es cierto incluso para matrices positivas: $$ begin {pmatrix} 1 & 1 \ 2 & 2 end {pmatrix} + begin {pmatrix} 3 & 2 \ 2 & 1 end {pmatrix} = begin { pmatrix} 4 y 3 \ 4 y 3 end {pmatrix}. $$
No. Considere las matrices $$ A = begin {pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end {pmatrix}, B = begin {pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end {pmatrix} $$ Luego:
- $ A $ es regular.
- $ B $ es singular.
- $ A + B = binom {2 , 0} {0 , 1} $ es regular.
- $ A – B = A + (- B) = binom {0 , 0} {0 , 1} $ es singular.
Permítanme contarles una forma particular de generar muchos ejemplos. Encontraremos $ A $ de manera que $ A + I $ sea singular. Puede adaptar fácilmente este método para usarlo con cualquier matriz no singular en lugar de identidad. Trabajaremos al revés para encontrar soluciones.
Tome una matriz con dos filas idénticas como $ A + I $. Esto da la condición de que $$ A + pmatrix {1 & 0 & 0 cr0 & 1 & 0 cr 0 & 0 & 1 cr} = pmatrix {a & b & c cr a & b & c cr * & * & * cr} $$ Primeras dos filas de $ A $ son forzados. Para garantizar la singularidad de $ A $, haga que la última fila sea idéntica a la segunda fila:
$$ pmatrix {a-1 & b & c cr a & b-1 & c cr a & b-1 & c} + pmatrix {1 & 0 & 0 cr0 & 1 & 0 cr 0 & 0 & 1 cr} = pmatrix {a & b & c cr a & b & c cr * & * & * cr} $$ Ahora podemos trabajar hacia atrás para obtener los valores que se usarán en lugar de las estrellas: $$ pmatrix {a-1 & b & c cr a & b-1 & c cr a & b-1 & c} + pmatrix {1 & 0 & 0 cr0 & 1 & 0 cr 0 & 0 & 1 cr} = pmatrix {a & b & c cr a & b & c cr a & b-1 & c + 1 cr} $$ Ahora reemplace $ a, b, c $ con su número PIN de cajero automático, la edad de su amigo y su salario anual en Euros respectivamente, obtendrá una solución.