Este enunciado ha sido evaluado por expertos para garantizar la veracidad de nuestra esta crónica.
Solución:
No es exactamente lo que está buscando, pero sería negligente no mencionar que para cualquier matriz cuadrada compleja $A$ se cumple la siguiente identidad:
$$det(e^A)=e^mboxtr(A) $$
El determinante y la huella son dos bestias bien distintas, poca relación se encuentra entre ellas.
Si la matriz no solo es simétrica (hermítica) sino también positivo semidefinido, entonces sus valores propios son reales y no negativos. Por lo tanto, dadas las propiedades $rm tr(M)=sum lambda_i$ y $rm det(M)=prodlambda_i$y recordando la desigualdad AM GM, obtenemos la siguiente (probablemente no muy útil) desigualdad:
$$fracrm tr(M)n ge rm det(M)^1/n$$
(la igualdad se cumple iff $M = lambda I$ para algunos $lambdage 0$)
Mucho más interesantes/perspicaces/útiles son las respuestas de Owen Sizemore y Rodrigo de Azevedo.
La traza de $mathrm M$ es la derivado direccional del determinante en la dirección de $mathrm M$ en $mathrm I_n$, es decir,
$$det (mathrm I_n + h mathrm M) = 1 + h , mboxtr (mathrm M) + O (h^2)$$
En palabras de Tao, “cerca de la identidad, el determinante se comporta como la huella”. [0]. Más generalmente,
$$det( mathrm A + h mathrm B ) = det(mathrm A) + h , mboxtr left( mboxadj (mathrm A) , mathrm B derecha) + O (h^2)$$
que es una variación de la fórmula de Jacobi. Tenga en cuenta que no se requiere que $mathrm M$ sea simétrico.
[0] Terence Tao, Identidades matriciales como derivadas de identidades determinantes, 13 de enero de 2013.
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