Nuestros programadores estrellas agotaron sus depósitos de café, por su búsqueda noche y día por la solución, hasta que Mateo encontró el resultado en Gitea así que hoy la compartimos aquí.
Solución:
Si $f(n)=n(n^2+5)$
$f(k+1)-f(k)$ $=(k+1)(k+1)^2+5-k(k^2+5)=3k^2+3k+1 +5=6cdotdfrack(k+1)2+6$ que es divisible por $6$ ya que $k(k+1)$ es par
$implica6mid f(k)iff6mid f(k+1)$
Si la inducción no es obligatoria,
$$n(n^2+5)=underbrace(n-1)n(n+1)_textProducto de tres enteros consecutivos +6n$$
Primero, demuestre que esto es true para $n=1$:
$1(1^2+5)=6$
En segundo lugar, suponga que esto es true por $n$:
$n(n^2+5)=6k$
En tercer lugar, demuestre que esto es true por $n+1$:
$(n+1)((n+1)^2+5)=$
$colorrojon(n^2+5)+3n^2+3n+6=$
$colorrojo6k+3n^2+3n+6=$
$6izquierda(k+fracn(n+1)2+1derecha)$
Dado que $n$ o $n+1$ son pares, $fracn(n+1)2$ es un número entero.
Tenga en cuenta que la suposición se utiliza solo en la parte marcada en rojo.
Pista: sea $$f(n)=n(n^2+5),ngeq1$$ entonces $$f(n+1)=(n+1)(n^2+2n+6)=n ^3+2n^2+6n+n^2+2n+6=n^3+3n^2+8n+6=$$ $$=n^3+5n+3n^2+3n+6=3( n^2+n)+6+n(n^2+5)=f(n)+6left(fracn(n+1)2+1right)$$
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