Este dilema se puede tratar de diferentes maneras, sin embargo te dejamos la que para nosotros es la resolución más completa.
Solución:
Por cada $gin G$, tenemos $$ gKg^-1=gleft(bigcap_g’in G g’Hg’^-1right)g^-1 =bigcap_g’in G gg’Hg’^-1g^-1=bigcap_g’in G gg’H(gg’)^-1 $$ $$ =bigcap_g’in Gg’Hg’^-1=K. $$ Tenga en cuenta que el paso menos trivial es el segundo. Se debe a que $xlongmapsto gxg^-1$ es inyectiva de $supseteq$. La inclusión $subseteq$ es directa.
Esto no es muy diferente en esencia, pero enfatiza la otra definición importante de subgrupo normal como núcleo de homomorfismo.
Considere la acción de $G$ sobre las clases laterales de $H$ dadas por la multiplicación. Este es un homomorfismo $phi$ de $G$ al grupo simétrico en el conjunto $G/H = gH : g in G = gh: h in H : g en G $. Como tal, tiene un kernel $K$, esos $k$ tales que $kgH = gH$ para todo $g in G$. Este es precisamente el $k$ tal que $kg = gh_g$ para algún $h_g in G$ dependiente de $g$, es decir $k = gh_g g^-1 in gHg^-1$. En otras palabras, $bigcap_gin G gHg^-1 = ker(phi)$.