Este dilema se puede tratar de diferentes maneras, por lo tanto te dejamos la solución más completa para nosotros.
Solución:
Es aproximadamente la misma energía para derretir pequeños trozos de hielo y uno grande, pero no exactamente porque hay energía involucrada en la creación de superficies, llamada “energía superficial” (o tensión superficial). Sin embargo, un curso de introducción a la física generalmente no incluiría esto en su modelo de fusión, por lo que es posible que no haya oído hablar de él.
Cuando cortas algo, rompes enlaces atómicos en él, y esto requiere un aporte de energía. La energía ahora es un poco más alta, lo que sugeriría que la energía para llegar a un estado fundido sería un poco menor.
Sin embargo, también tenemos que tener en cuenta la energía superficial del agua. Cuando los diminutos trozos de hielo se derriten, crean una gran superficie de agua. El agua tiene energía superficial, por lo que las muchas gotas diminutas de agua tendrían más energía que la gran gota de agua que obtendrías al derretir un solo trozo de hielo. Si se necesita más energía para derretir los pequeños trozos de hielo o el gran bloque de hielo, depende de si la energía de la superficie del hielo o del agua es mayor. Si el agua tiene mayor energía en la superficie, estaría poniendo más energía en el agua durante el derretimiento y se necesitaría un poco más de calor para derretir las pequeñas astillas. Si el hielo tiene mayor energía superficial, se necesitaría un poco menos de energía para derretir las pequeñas astillas. (Todo esto ignora la gravedad. Si la energía gravitacional cambia a medida que se funde / congela, también tendrá que tener en cuenta eso).
Esta energía extra en los pequeños trozos de hielo / agua se almacena en las superficies. Si tomas muchas gotas diminutas de agua y las dejas converger todas, se calentarían mientras lo hacían, y terminarías con agua más caliente de la que tenías al principio porque la energía de la superficie se convertiría en energía térmica en el agua, eso es donde aparecería toda esa energía extra que pones para hacer las pequeñas gotas.
En general, el efecto es bastante pequeño porque los átomos son pequeños, lo que significa que solo una pequeña fracción de ellos está en la superficie para cualquier material de tamaño macroscópico. La energía superficial del agua es de aproximadamente 0.07 J / m ^ 2, mientras que la energía para derretir el agua es de aproximadamente 334 kJ / kg. Entonces, incluso para pequeñas gotas de agua con un radio de 1 micrón, la energía de la superficie es solo alrededor del 0.06 por ciento de la energía para derretir tanto hielo; un pequeño efecto.
Finalmente, no está claro solo por la experiencia cotidiana que romper el hielo requiere energía, en el sentido de que el hielo roto tiene más energía que el hielo con el que comenzó. Este es true, pero no se sigue solo del hecho de que en la vida real, cuando corta hielo con un cincel, está usando energía. La mayor parte de esa energía calentará el hielo (y el entorno circundante).
No estoy totalmente seguro de entender la pregunta. Pero creo que puede estar confundiendo la cantidad de calor energía necesario para derretir el hielo con la cantidad de tiempo Necesitaba derretir el hielo.
Tienes razón en que la energía necesaria para derretir el hielo, dado que el hielo ya está a la temperatura del cambio de fase, depende solo de la masa. Sin embargo, el calor responsable del cambio de fase debe ingresar al hielo a través de su superficie. Usted da el ejemplo de dividir un gran bloque de hielo en $ 10 ^ 12 $ piezas. Un ejercicio interesante para usted es calcular las áreas de superficie de esas dos distribuciones. Si la tasa de flujo de calor es proporcional al área de la superficie, está claro que el polvo de hielo del tamaño de una micra se derretirá más rápidamente que el bloque grande.
Un ejemplo de esto que puede haber visto es el nitrógeno líquido, que hierve a 77 kelvin. Un balde abierto de nitrógeno líquido puede permanecer estable durante muchos minutos. Toma ese mismo balde y tíralo al suelo, y el nitrógeno se vaporiza más o menos instantáneamente. La diferencia no es la cantidad de calor que se necesita: es el área de superficie a través de la cual ese calor puede ingresar al material.
Para simplificar, supongamos que cada molécula de hielo (agua) es un pequeño cubo y que los enlaces están entre caras adyacentes.
Su cubo de hielo de 10 cm contiene aprox. $ 3.07 * 10 ^ 25 $ moléculas, y por lo tanto $ 9.21 * 10 ^ 25 $ enlaces (es decir, tres veces la cantidad de moléculas, ya que cada cubo tiene seis caras y casi cada cara es compartida por dos cubos).
Un cubo de hielo de 1um tiene $ 3.07 * 10 ^ 10 $ moléculas, por lo que una de sus caras contiene $ sqrt[3/2]3.07 * 10 ^ 10 = 9.80 * 10 ^ 6 $ moléculas de hielo por capa. Al cortar un cubo de este tipo, se han roto tres veces esa cantidad de enlaces. Entonces, para los cubos pequeños de $ 10 ^ 15 $ en los que ha dividido los 10 cm al cubo, acaba de romper los enlaces de $ 2,93 * 10 ^ 22 $. Esto es 3000 veces menor que el número total de enlaces inicialmente, pero tienes razón:
Al cortar un bloque grande en cubos de 1um, ha reducido el número de enlaces a romper en $ 0.0316 % $ y, por lo tanto, en cierta aproximación, la energía requerida para derretir el resto en la misma cantidad.
Mark plantea un buen punto en el comentario, que la energía superficial del agua resultante jugará un papel. La energía de la superficie se mencionó en su respuesta, con una cifra de 0.06% en relación con la energía necesaria para derretir un trozo de hielo de una micra. Sin embargo, mi resultado es del mismo orden. Espero que el papel de la energía superficial sea muy variable dependiendo de la configuración inicial de nuestro polvo de hielo. Si colocamos cada pieza diminuta lejos de las demás, la energía de la superficie podría ganarnos. Si todo se amontona, podría resultar una corrección insignificante.