Después de consultar con expertos en la materia, programadores de deferentes áreas y profesores dimos con la solución a la cuestión y la plasmamos en esta publicación.
Intentaré hacerlo lo más simple e intuitivo posible. En la imagen de Schrödinger, el valor esperado de un operador dado $ hat xi $ (que a su vez está congelado en el tiempo) se define de la siguiente manera (con $ psi (t) $ la función de onda de nuestro sistema en el tiempo $ t PS
$$ langle hat xi (t) rangle = langle psi (t) lvert hat xi rvert psi (t) rangle $$
Que es solo el valor promedio del observable correspondiente a $ hat xi $ si se realiza una medición en el momento $ t. $ Ahora exactamente porque el valor esperado crea un vínculo directo entre lo que predecimos con nuestra teoría en QM con lo que observamos experimentalmente, luego, lógicamente, independientemente de cómo se defina la mecánica cuántica, deberíamos obtener los mismos valores para $ langle hat xi (t) rangle $ para asegurarnos de que vamos a predecir la correcta experimentalmente esperada valores (y por lo tanto poder afirmar que las dos imágenes son equivalentes).
Para mostrar esta equivalencia, primero usamos una propiedad importante del operador de evolución en el tiempo unitario, a saber
$$ psi (t_1) = hat U (t_1, t_0) psi (t_0) $$
es decir, propagamos nuestra función de onda en el tiempo actuando $ hat U $ sobre ella. Con esto, ahora podemos redefinir la función de onda en el momento $ t $ como su valor en el momento $ t = 0 $ sobre el cual actuamos $ hat U (t, 0). $ Entonces reescribimos (mediante una simple sustitución) nuestra expresión original para $ langle hat xi (t) rangle $ como:
$$ langle psi (t) lvert hat xi rvert psi (t) rangle = langle psi (0) lvert hat U ^ dagger (t, 0 ) hat xi hat U (t, 0) rvert psi (0) rangle $$ De lo anterior ya puede ver la libertad de elección, es decir, decidir actuar los operadores de tiempo en las funciones de onda o en el operador, eligiendo este último obtenemos:
$$ langle psi (0) lvert left ( hat U ^ dagger (t, 0) hat xi hat U (t, 0) right) rvert psi (0) rangle = langle psi (0) lvert hat xi (t) rvert psi (0) rangle $$ Por lo tanto, hemos demostrado con éxito que la dependencia del tiempo también se puede implementar en los operadores, en lugar de funciones de onda mientras se obtienen los mismos valores esperados para nuestro observable elegido, así que llamemos $ psi (0) = psi_h $ con $ h $ para Heisenberg, y de manera similar $ hat xi (t) = hat xi _h (t). $ Con esta notación, puede relacionar fácilmente el operador en la imagen de Schrödinger con el de la imagen de Heisenberg mediante:
$$ hat xi _h (t) = hat U ^ dagger (t, 0) hat xi _ rm Schrödinger hat U (t, 0) $$ Finalmente, desde aquí puede obtener directamente la expresión de la ecuación de movimiento de Heisenberg (aunque no la solicitó, pero hemos venido hasta aquí, también puede mostrarlo …):
Tome la derivada en el tiempo de $ hat xi _h (t) $ (usando la última ecuación derivada) y usando la relación $ d hat U / dt = – frac i hbar hat H hat U $ (y también ese $[hatH,hatU]= 0 $):
$$ begin align * frac d hat xi _h (t) dt & = frac d hat U ^ dagger dt hat xi hat U + hat U ^ dagger hat xi frac d hat U dt \ & = frac -1 i hbar ( hat U ^ dagger hat H hat xi hat U – hat U ^ dagger hat xi hat H hat U) \ & = frac 1 i hbar[hatxi_h (t),hatH]. end align * $$
Sobre su no equivalencia. Sí, esto es en gran parte un resultado del folclore. Hay muchas formas de que no sean equivalentes. Algunos ejemplos
https://arxiv.org/abs/1404.6775
https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0375960102015086
https://arxiv.org/abs/0706.3867
De manera más general, en los espaciotiempos curvos, la Imagen de Heisenberg trata todas las coordenadas en el mismo terreno, mientras que la Imagen de Schrödinger tiene, como condición previa, que haya una variable de tiempo universal con respecto a la cual evolucionan los estados. Puede que no haya o (si lo hay) puede conducir a una inconsistencia fundamental. De hecho, el Problema del Tiempo es, en sí mismo, esa misma inconsistencia: una prueba por contradicción de que la condición es false y que, por tanto, no existe ninguna imagen de Schrödinger. Entonces, son desiguales en ese entorno.
La equivalencia formal de las dos imágenes también descuida la mitad del fundamento de la propia teoría cuántica. No hay uno, sino dos postulados de von Neumann a considerar: el Postulado de Evolución (los estados evolucionan de acuerdo con la ecuación de Schrödinger) y el Postulado de Proyección (un estado en la medición arroja un valor propio y colapsa a un estado propio, de acuerdo con la Regla de Born) . Parece que todo el mundo sigue olvidándose de ese otro postulado.
La equivalencia de la imagen solo se aplica al primer postulado. La versión de Evolución de la Imagen de Heisenberg, por supuesto, son las Ecuaciones de Heisenberg. No hay equivalencia entre las dos imágenes para el segundo postulado, ¡porque no existe una versión de la Regla del Nacido con la Imagen de Heisenberg! Si intenta formular uno, verá revelada una nueva infraestructura interesante, que no está presente en la imagen de Schrödinger, pero que es necesaria para manejar correctamente múltiples aplicaciones de la regla de nacimiento en la imagen de Heisenberg. Contiene un distinguido “ahora” y un sentido del tiempo fluyendo con respecto a él. Pero el “fluir” no está dentro del postulado de la Evolución; más bien, ¡proviene del postulado de la Proyección!
La cuestión de qué es la regla de Born y cómo debe manejarse, interpretarse, explicarse o explicarse es el quid de lo que se llama el problema de la medición. Las diferentes respuestas a esta pregunta producen entonces las diferentes Interpretaciones de la teoría cuántica (Bohm, Muchas mentes, Muchos mundos, Historias consistentes, Colapso físico, cada una de las cuales puede estar enhebrada por los análisis proporcionados por Decoherence).
Aquí también hay una brecha. La misma pregunta formulada sobre la Regla de Born ahora se transmite a cada uno de sus supuestos reemplazos: ¿cuál es la versión de Heisenberg Picture? ¿Y hay alguno en absoluto? Por ejemplo: Many Worlds y Bohm.