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Solución:
Bueno, la sentencia
Parece que si es una propiedad inherente del resorte, no debería cambiar, así que si lo hace, ¿por qué?
claramente no es un argumento válido para calcular los $ k $ de los resortes más pequeños. Son resortes diferentes a su padre grande, por lo que pueden tener diferentes valores de una “propiedad inherente”: si una pizza se divide en 4 piezas más pequeñas, la propiedad inherente “masa” de las pizzas más pequeñas también es diferente a la masa de la el Grande. 😉
Puede haber querido decir que es una propiedad “intensiva” (como una densidad o temperatura) que no cambiaría después del corte de un gran manantial, pero no ha ofrecido evidencia de que sea “intensiva” en este sentido. No es de extrañar, esta afirmación es incorrecta como voy a mostrar.
Se puede calcular la respuesta correcta de muchas formas. Por ejemplo, podemos considerar la energía del resorte. Es igual a $ k _ rm big x _ rm big ^ 2/2 $ donde $ x _ rm big $ es la desviación (distancia) de la posición de equilibrio. También podemos imaginar que el gran resorte es una colección de 4 cuerdas iguales más pequeñas unidas entre sí.
En esta imagen, cada uno de los 4 resortes tiene la desviación $ x _ rm small = x _ rm big / 4 $ y la energía de cada resorte es $$ E _ rm small = frac 1 2 k _ rm pequeño x _ rm pequeño ^ 2 = frac 1 2 k _ rm pequeño frac x _ rm grande ^ 2 16 $$ Porque tenemos 4 resortes tan pequeños, la energía total es $$ E _ rm 4 , small = frac 1 2 k _ rm small frac x _ rm big ^ 2 4 $$ Eso debe ser igual a la energía potencial del único resorte grande porque es el mismo objeto $$ = E _ rm big = frac 1 2 k _ rm big x _ rm big ^ 2 $$ lo que implica, después de dividir los mismos factores en ambos lados, $$ k _ rm big = frac k _ rm small 4 $$ Entonces, la constante de resorte del resortes es en realidad 4 veces más grande que la constante del resorte del gran resorte.
También podría obtener el mismo resultado a través de las fuerzas. El resorte grande tiene algunas fuerzas $ F = k _ rm big x _ rm big $ en ambos extremos. Cuando lo divide en cuatro resortes pequeños, todavía hay las mismas fuerzas $ pm F $ en cada límite de las cuerdas más pequeñas. Deben ser iguales a $ F = k _ rm small x _ rm small $ porque la misma fórmula se aplica también a los resortes más pequeños. Como $ x _ rm pequeño = x _ rm grande / 4 $, ves que $ k _ rm pequeño = 4k _ rm grande $. Es más difícil cambiar la longitud del resorte más corto porque es corto al principio, por lo que necesita una fuerza 4 veces mayor, por lo que la constante del resorte del resorte pequeño es 4 veces mayor.
Para complementar la respuesta de Luboš Motl, abordaré este problema desde el punto de vista de la ciencia de los materiales.
¿A qué te refieres con la propiedad inherente del string no es la constante del resorte, de hecho, es el módulo de Young $ E $, que solo depende de las propiedades de un material de un cuerpo pero no de su forma.
$$ E = frac text tensión de tracción text tensión de tracción = frac sigma varepsilon = frac text fuerza por área text extensión por longitud = frac F / A x / l = frac F l x A $$
Ahora use esta definición para construir la ley de Hooke: $$ F = frac EA l x = kx $$ donde vemos que $$ k = frac EA l $$
Ahora considere lo que sucede cuando dividimos el resorte. Cambiamos solo la longitud del resorte, manteniendo A (misma área de sección transversal) y E (mismo resorte, mismo material) iguales. Cuando hacemos el resorte cuatro veces más corto, esencialmente tenemos lo siguiente:
$$ k_ text antiguo = frac EA l_ text antiguo = frac EA 4 l_ text nuevo = frac 1 4 frac EA l_ text nuevo = frac 1 4 k_ text nuevo $$
Tenga en cuenta que esto supone una configuración similar a una banda elástica, donde suponemos que el resorte puede modelarse mediante una barra uniforme de material elástico. Una prueba más rigurosa de la dependencia de la constante del resorte y la longitud del resorte involucraría la geometría del resorte y varios pares de torsión en los elementos del resorte cuando está bajo carga. Sin embargo, toda esta complicación solo aporta factores previos adicionales a la constante del resorte, que son independientes de la longitud del resorte.
Una derivación heurística de la relación Módulo-Fuerza de Young
Pensé que podría hablar de por qué $ E $ siempre es constante para algún tipo de material. Todos los enlaces entre átomos pueden pensarse como pequeños resortes que obedecen a la ley de Hooke en caso de pequeños desplazamientos.
Debido a la conservación de energía ya sabemos (la respuesta de Luboš Motl), que si conectamos varios resortes, cambiaremos la constante de resorte efectiva: $$ k_ text new = k / n $$ donde $ n $ es el número de resortes y $ k $ es la constante del resorte del enlace simple.
Por lo tanto, para la misma extensión, la fuerza se escala con la longitud del resorte de la siguiente manera: $$ F = frac kx n = k frac l_ text unit l x = kxl_ texto unidad veces frac 1 l = text constante veces frac x l $$
Ahora, ¿qué hay de conectar las cuerdas en paralelo? A partir del argumento de la conservación de energía, sabemos que la constante de resorte efectiva cambiará de una manera diferente: $$ k_ text new = kn $$ donde $ n $ ahora estará relacionado con el área de la superficie del material.
Ahora, la fuerza para la misma extensión se escala como: $$ F = knx = k rho x times A = text const. Times Ax $$ donde $ rho $ es la densidad de los resortes.
Solo hay dos formas de combinar cadenas (en paralelo o en serie), por lo tanto, la fórmula general para la fuerza debe ser de la siguiente manera:
$$ F = E veces frac A l x $$
Y podemos llamar a esa constante desconocida $ E $ módulo de Young, que sabemos que será específico del material (es decir, la naturaleza de esos enlaces químicos). Es más, debido a nuestro análisis anterior, sabemos que para un material dado, la cantidad desconocida restante $ E $ será independiente del área de la sección transversal, la longitud o la extensión del resorte.
Entonces, con un pensamiento muy simple y algunos conocimientos básicos de conservación de energía, podríamos recuperar la ley que asumí en mi primera parte de explicación.
EDITAR: Noté que había algunos errores en la segunda parte de mi explicación, por lo tanto, una revisión completa. Además, espero haber aclarado la primera parte de la explicación.
Para un resorte dado, $ k $ es una constante, siempre que esté hablando de una ideal primavera. En otras palabras, la definición de resorte ideal es que aplica la fuerza proporcional a su longitud de deformación (en ambos extremos, por supuesto).
Me temo que tanto usted como su profesor están equivocados. La fórmula correcta debe ser:
$ k_ nuevo = k_ orig * 4 $
Para demostrarlo, hagamos el siguiente gedankenexperiment. Suponga que tiene su resorte original en tensión. Tiene una longitud deformada $ L $ y aplica la fuerza apropiada $ F $.
Ahora imagine que su resorte es en realidad 4 resortes conectados en consecuencia de longitud $ L / 4 $. Cada resorte está en reposo, esto significa que para cada resorte las fuerzas aplicadas a ambos extremos son iguales. Dado que todos los resortes están conectados y se aplican fuerzas entre sí, esto significa que todas las fuerzas aplicadas a todos los extremos de los resortes son iguales. Y obviamente equivalen a $ F $.
OTOH cada resorte se deforma solo $ L / 4 $. Por lo tanto, sus “constantes” son 4 veces más altas.