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Solución:
La imagen continua de un espacio compacto es compacto. No necesitamos secuencias para ver esto; de hecho las secuencias ni siquiera alcanzan para verlo, en general. La definición de compacidad es por cubiertas abiertas, así que usa eso:
Si $f:X a Y$ es continuo, $A subconjunto X$ es compacto, entonces considere una cubierta abierta $O_i, yo en yo$ de $f[A]PS. Luego $f^-1[O_i]yo en yo$ es una portada de $A$ (por la teoría básica de conjuntos) y una cubierta abierta como $f$ es continuo Tan finitamente muchos $f^-1[O_i]yo en F$ (entonces $F subconjunto I$ finito) existen que también cubren $A$ y de nuevo la teoría de conjuntos simple nos dice que el $O_i, yo en F$ es una subcubierta finita de la cubierta original para $f[A]PS. Por eso $f[A]PS es compacto
El lema se sigue entonces del hecho básico de que si $Y$ es Hausdorff, y $B subconjunto Y$ es compacto, entonces $B$ está cerrado en $Y$. Esto también se muestra usando cubiertas abiertas y la definición de Hausdorffness. Muchas pruebas se pueden encontrar en línea.
Ahora bien, si una biyección $f: X a Y$ es cerrado, esto es lo mismo que decir su función inversa $g: Y a X$ es continua: $g$ es continua si y si $g^-1[C]PS está cerrado para todos cerrado $C subconjunto X$. Y $g^-1[C] = f[C]PS porque $g$ es la inversa de la biyeccion $f$. Como $f$ es un mapa cerrado por el lema, ya está.
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