Guillermo, miembro de este equipo, nos hizo el favor de crear este enunciado ya que conoce muy bien el tema.
Solución:
Es muy simple. jeje… (Tenga en cuenta que en realidad quiere asumir $A,Bin L^1(Bbb R)$, no $L^2$.)
Editar: Moralmente, el mismo argumento funciona para una función valorada en el espacio de Banach; ver Abajo.
Para hacer las cosas más fáciles de escribir, voy a revisar la notación. Supongamos que $f:Bbb RtoBbb R^2$; queremos mostrar que $$left|left|int f(x),dxright|right|_2leint||f(x)||_2,dx.$$Let $ $v=int f(x),dxinBbb R^2.$$Entonces $$||v||_2^2=vcdot v=vcdotint f(x), dx=int vcdot f(x),dxleint||v||_2||f(x)||_2,dx=||v||_2int||f(x )||_2,dx.$$Dividir por $||v||_2$: $$||v||_2leint||f(x)||_2,dx.$$
Abajo Se puede dar un argumento similar si $f:Sto X$ donde $X$ es un espacio de Banach y $mu$ es una medida en $S$. Sea $$v=int_Sf(t),dmu(t)in X.$$Suponga que $Lambdain X^*$ y $||Lambda||=1$. Entonces $$Lambda v=intLambda f(t),dmu(t)leint||Lambda||_X^*||f(t)||_X, dmu(t)=int||f(t)||,dmu(t).$$Dado que esto es válido para cada $Lambda$, Hahn-Banach muestra que $||v|| leint||f||,dmu$.
Para dar una imagen más general, que no utiliza la forma especial de la $2$-siendo la norma inducida por el producto escalar, mostraremos:
Proposición. Suponer $X$ es un espacio de Banach, $(S,mathcal A, mu)$ un espacio de medida, y $f colon S to X$ es integrable. Entonces tenemos
$$ defnorm#1left\normint_S f , dmu le int_S norm f(s) , dmu( s) $$
Prueba. Usamos la definición de integral. Si $f = sum_i x_ichi_A_i$ es una función simple, donde el $A_i$ son disjuntos, entonces $normf(s) = sum_i normx_i chi_A_i(s)$ y por lo tanto
beginalign* normint_S sum_i x_i chi_A_idmu &= normsum_i mu(A_i)x_i\ &le sum_i mu( A_i)normax_i\ &= int_S sum_inormax_ichi_A_i dmu\ &= int_S normaf(s), dmu (s) endalinear*
Si $f$ es integrable, elige funciones simples $f_n$ tal que $f_n a f$ casi en todas partes y $lim_nint_S f, dmu = int_S f_n, dmu$ tenemos
beginalign* normint_S f, dmu &= lim_n normint_S f_n, dmu\ &le lim_n int_S normf_n(s) , dmu(s)\ &= int_S normf(s), dmu(s) endalign*
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