Después de de nuestra prolongada recopilación de información resolvimos este enigma que suelen tener algunos lectores. Te dejamos la respuesta y nuestro objetivo es resultarte de gran ayuda.
Solución:
El problema es el uso incorrecto de cosas como $dx$ y $dy$. La gente alguna vez trabajó con ellos como “infinitesimales”, pero el problema es solo ese, puedes confundirte bastante rápido. los true riguroso $dx$ y $dy$ son formas diferenciales. Son funciones que asignan a cada punto del espacio un objeto llamado tensor alterno. Para simplificar, se puede considerar que un tensor es una función multilineal de vectores, es decir, una función que toma varios vectores como parámetros, devuelve números y es lineal en cada parámetro con los demás mantenidos fijos.
El carácter alternado tiene que ver también con el producto de tales objetos, llamado producto de cuña. Este producto es tal que $dxcuña dy = -dycuña dx$ por ejemplo. En su caso, esto es suficiente para establecer el hecho.
De hecho, la primera parte de los cálculos es correcta:
$$dx = cos theta dr-rsintheta dtheta,$$
$$dy=sintheta dr+rcostheta dtheta,$$
ahora tenemos
$$dxcuña dy=(costheta dr-rsintheta dtheta)cuña(sintheta dr+rcostheta dtheta),$$
pero este producto es distributivo, por lo que tenemos
$$dxcuña dy=(costheta dr)cuña(sintheta dr)+(costheta dr)cuña(rcostheta dtheta)+(-rsin theta dtheta)cuña(sintheta dr)+(-rsintheta dtheta)cuña(rcostheta dtheta),$$
también los escalares se pueden poner fuera, de modo que
$$dxcuña dy = (costhetasintheta)drcuña dr+(rcos^2theta)(drcuña dtheta)-(rsin^2theta)d thetacuña dr-(r^2sinthetacostheta)dthetacuña dtheta$$
Ahora, cualquier $omega$ de forma 1 satisface $omegawedge omega = 0$, esto se debe a que la propiedad alterna garantiza que $omegawedgeomega=-omegawedgeomega$ y esto sigue . Por eso, $drwedge dr = 0$ y $dthetawedge dtheta = 0$. Finalmente tenemos
$$dxcuña dy =rcos^2theta drcuña dtheta – rsin^2theta dthetacuña dr,$$
Y finalmente usando de nuevo la propiedad alternante $-dthetawedge dr = drwedge dtheta$ y así
$$dxcuña dy = rcos^2theta drcuña dtheta + rsin^2theta drcuña dtheta = r drcuña dtheta.$$
Por supuesto, no es posible explicar todas las formas diferenciales en esta única respuesta, solo para mostrar un poco cómo encaja esto en su problema. Para ver más sobre esto, consulte Calculus on Manifolds de Spivak (este es un libro pesado), o eche un vistazo a “Geometría diferencial elemental” de O’neill, este tiene una buena introducción a las formas diferenciales.