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Solución:
Si por $mathbb R^mathbb N$ te refieres al conjunto de todos secuencias infinitas de números reales (que es el significado estándar para esa notación), entonces no hay ningún isomorfismo en $mathbb R[X]$ (el conjunto de polinomios reales en una variable). Los dos espacios vectoriales tienen dimensiones diferentes — $mathbb R^mathbb N$ es $2^aleph_0$-dimensional, mientras que $mathbb R[X]$ es solo $aleph_0$-dimensional.
($matemáticas R[X]$ tiene dimensión $aleph_0$ porque los muchos polinomios contables $1$, $X$, $X^2$, $X^3$, … forman una base. $mathbb R^mathbb N$ tiene dimensión a lo sumo $2^aleph_0$, porque esa es la cantidad elementos tiene el espacio vectorial. No tengo un argumento hábil de que su dimensión es al menos $2^aleph_0$ (pero mira los comentarios donde Arturo da uno), pero algo indirectamente: $mathbb Q^mathbb N$ debe tener dimensión $2^aleph_0$ sobre $mathbb Q$, porque una base más pequeña que esa no podría producir suficientes elementos mediante combinaciones lineales finitas. Así que toma una base para $mathbb Q^mathbb N$ y observa los elementos correspondientes de $mathbb R^mathbb N$. El conjunto resultante seguirá siendo linealmente independiente en $mathbb R^mathbb N$ — cualquier relación lineal no trivial en $mathbb R^mathbb N$ crearía al menos una relación no trivial en $mathbb Q ^mathbb N$, cuando los coeficientes se expanden en coordenadas bajo una base para $mathbb R$ como un espacio vectorial sobre $mathbb Q$. Por lo tanto, $mathbb R^mathbb N$ tiene una dimensión de al menos $2^aleph_0$ sobre $mathbb R$).
El subespacio (adecuado) de secuencias donde solo hay un número finito de elementos distintos de cero, a veces anotados $mathbb R^infty$ — es naturalmente isomorfo a $mathbb R[X]ps
Piensa en esto:
- el conjunto de sucesiones de números reales de longitud $n$
- el conjunto de secuencias finitamente largas de números reales
- el conjunto de sucesiones infinitas de números reales tales que la suma de sus cuadrados es finita
- el conjunto de todos secuencias infinitamente largas de números reales
El primero es un espacio vectorial de dimensión finita. Los siguientes tres son espacios vectoriales de dimensión infinita. No son todos el mismo espacio. Cuando comprenda la diferencia entre ellos, estará en camino de comprender los espacios vectoriales de dimensión infinita.
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