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Inversa de una matriz definida positiva simétrica

Es importante comprender el código de forma correcta antes de adaptarlo a tu trabajo y si tquieres aportar algo puedes dejarlo en la sección de comentarios.

Solución:

Tenemos $(A^-1)^T = (A^T)^-1$ para cualquier matriz invertible. De esto se deduce que si $A$ es invertible y simétrico $$(A^-1)^T = (A^T)^-1 = A^-1$$ entonces $A^ -1$ también es simétrico. Además, si todos los valores propios de $A$ son positivos, entonces existe $A^-1$ y todos los valores propios de $A^-1$ son positivos, ya que son los recíprocos de los valores propios de $A$. Por lo tanto, $A^-1$ es definido positivo cuando $A$ es definido positivo.

Si A es una matriz definida positiva, entonces sus valores propios son $lambda_1, dotsc, lambda_n >0$ entonces,

beginecuación |A| = prod_i=1^n lambda_i > 0 endecuación y A es invertible. Además, los valores propios de $A^-1$ son $frac1lambda_i>0$, por lo que $A^-1$ es definido positivo. Para ver que $A^-1$ es simétrico, considere beginecuación A^-1 = (A^T)^-1=(A^-1)^T endecuación

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