Recabamos en todo el mundo online para mostrarte la solución para tu inquietud, en caso de preguntas deja la inquietud y contestamos sin falta.
Solución:
En general, $A+B$ no necesita ser invertible, incluso cuando $A$ y $B$ lo son. Pero uno podría preguntarse si puede tener una fórmula bajo el supuesto adicional de que $A+B$ es invertible
Como señala Adrián Barquero, hay un artículo de Ken Miller publicado en el Revista de Matemáticas en 1981 que aborda esto.
El prueba lo siguiente:
Lema. Si $A$ y $A+B$ son invertibles, y $B$ tiene rango $1$, entonces sea $g=mathrmtrace(BA^-1)$. Entonces $gneq -1$ y $$(A+B)^-1 = A^-1 – frac11+gA^-1BA^-1 .$$
De este lema, podemos tomar un $A+B$ general que es invertible y escribirlo como $A+B = A + B_1+B_2+cdots+B_r$, donde $B_i$ cada uno tiene rango $1$ y tal que cada $A+B_1+cdots+B_k$ es invertible (tal descomposición siempre existe si $A+B$ es invertible y $mathrmrank(B)=r$). Entonces obtienes:
Teorema. Sean $A$ y $A+B$ matrices no singulares y $B$ tenga rango $rgt 0$. Sea $B=B_1+cdots+B_r$, donde cada $B_i$ tiene rango $1$, y cada $C_k+1 = A+B_1+cdots+B_k$ es no singular. Estableciendo $C_1 = A$, entonces $$C_k+1^-1 = C_k^-1 – g_kC_k^-1B_kC_k^-1$$ donde $g_k = frac11 + mathrmtraza(C_k^-1B_k)$. En particular, $$(A+B)^-1 = C_r^-1 – g_rC_r^-1B_rC_r^-1.$$
(Si el rango de $B$ es $0$, entonces $B=0$, entonces $(A+B)^-1=A^-1$).
En Sobre la derivación de la inversa de una suma de matrices se muestra que
$(A+B)^-1=A^-1-A^-1B(A+B)^-1$.
Esta ecuación no se puede utilizar para calcular $(A+B)^-1$pero es útil para el análisis de perturbaciones donde $B$ es una perturbación de $A$. Hay varias otras variaciones de la forma anterior (ver ecuaciones (22)-(26) en este documento).
Este resultado es bueno porque solo requiere $A$ y $A+B$ ser no singular. Como comparación, la identidad de SMW o el artículo de Ken Miller (como se menciona en las otras respuestas) requiere algunas condiciones de no singularidad o rango de $B$.
Esto lo encontré por casualidad.
Suponga que se dan $A$ y $B$, donde $A$ y $A+B$ son invertibles. Ahora queremos saber la expresión de $(A+B)^-1$ sin imponer el todo inverso. Ahora seguimos la intuición así. Supongamos que podemos expresar $(A+B)^-1 = A^-1 + X$, a continuación presentaremos un método simple y directo para calcular $X$ beginequation (A+B) ^-1 = A^-1 + X endecuación beginecuación (A^-1 + X) (A + B) = I endecuación beginecuación A^-1 A + XA + A^-1 B + XB = I endecuación beginecuación X(A + B) = – A^-1 B end ecuación beginecuación X = – A^-1 B ( A + B)^-1 endecuación beginecuación X = – A^-1 B (A^ -1 + X) endecuación beginecuación (I + A^-1B) X = – A^-1 BA^-1 endecuación begin ecuación X = – (I + A^-1B)^-1 A^-1 BA^-1 endecuación
Este lema es una simplificación del lema presentado por Ken Miller, 1981