Puede que se de el caso de que halles algún fallo con tu código o proyecto, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes aplicar el código al trabajo final.
Solución:
Incluso si cambias de marco, la física sigue siendo la misma y la partícula seguirá el mismo camino, ¿no? Y ciertamente hay más de una forma de cambiar el Lagrangiano sin afectar el camino de acción mínima: agregarle cualquier combinación de derivadas de tiempo total.
Cuando dije que seguiría el mismo camino, quise decir el mismo camino después de tener en cuenta el hecho de que cambiaste de cuadro. Si $q_1$ y $q_2$ etiquetan el mismo punto incluso después de cambiar los marcos (de modo que en las nuevas coordenadas $q_1=q^nueva_1−ϵt$ y etc.), la partícula estará en $q_2$ en $ t_2$ si estaba en $q_1$ en $t_1$.
Quiero decir que si la partícula comienza en el tiempo $t_1$ en $q_1$ SÍ termina en $q_2$ en el tiempo $t_2$, siempre que tenga en cuenta cómo los puntos se ven diferentes debido al nuevo marco. El camino tomado por la partícula debe ser el mismo; la física no depende del marco inercial en el que se encuentre y este es el punto que Landau está señalando. Si cree que en el cuadro K’ la partícula no termina en $q_2$ en el tiempo $t_2$, entonces es simplemente porque los puntos están etiquetados de manera diferente en este cuadro. Tampoco tiene nada que ver con que v sea infinitesimal; eso no importa
En cuanto a la otra pregunta, también puedes multiplicar todo el Lagrangiano por una constante. Aunque eso es un poco obvio. Básicamente, necesita el término de energía cinética, y la única forma en que puede modificarlo aún más es agregando términos, ¿no? Si multiplicas el Lagrangiano por un término no constante, por ejemplo, la forma del término de energía cinética cambiaría. Luego descarta qué términos puede agregar.
Tal vez si va a esta página y busca en la sección “¿Es único el Lagrangiano?” ayudará:
en.wikibooks.org/wiki/Classical_Mechanics/Lagrange_Theory
Básicamente, cambias el Lagrangiano agregando términos, y se puede probar que SÓLO si este término es un tiempo total derivado de una función de coordenadas y tiempo, que la acción aún se extremiza. En otras palabras, no, no es posible mantener el camino de menor acción agregando cualquier otra función.
Considere el principio de acción mínima $delta S = 0$, donde la acción $S$ viene dada por: $$S= int_t_1^t_2L(mathbfq(t),dot mathbfq(t),t) textd t$$ de esto podemos derivar las Ecuaciones de Lagrange. Ahora supongamos que $Gin C^1(t_1,t_2)$, es decir, $G$ es una función diferenciable al menos una vez en $(t_1,t_2)$. Entonces $$S’ = int_t_1^t_2L(mathbfq(t),dotmathbfq(t),t) +dfractextd Gtextdt textd t=int_t_1^t_2L(mathbfq(t),dotmathbfq(t) ,t) textd t + Delta G = S + textconst$$ Así $delta S’ = delta S$ y $L(mathbfq(t),dot mathbfq(t),t) +dfractextdGtextdt$ es un lagrangiano equivalente del sistema y producirá todas las mismas dinámicas.