Posteriormente a buscar en varios repositorios y páginas webs de internet finalmente hallamos la solución que te compartimos pronto.
Solución:
Cuanto más alto estés, mayor será la velocidad máxima y la energía potencial máxima.
Considere un péndulo elevado a más de un segundo, ambos liberados al mismo tiempo. Cuando el péndulo superior llega al punto de partida del segundo, ya tiene una velocidad superior a 0.
Esta mayor velocidad permite que el péndulo superior complete su oscilación en la misma cantidad de tiempo que el inferior, aunque tenga una trayectoria más larga.
Como ahora estoy en una computadora, abordaré la mayoría de lo que se dice en los comentarios. Para empezar, esto no exactamente aplicar al péndulo; solo aproximadamente, y la aproximación empeora a medida que aumenta $theta$.
Una buena manera de visualizar esto es a través de la curva Tautocrona, que es una curva sin fricción donde para todas las alturas, el tiempo de caída es el mismo (este es el equivalente a un período de péndulo si ignora el backswing, o tiene 2 de estas curvas reflejadas ; que será un espejo perfecto del giro frontal si se conserva la energía en el sistema).
En este escenario, las aceleraciones funcionan perfectamente (bajo la misma gravedad) para que todas lleguen al mismo tiempo. Esto es diferente al movimiento circular, que es solo aproximadamente correcto para ángulos pequeños. Lo interesante a tener en cuenta es que mirando un pequeño desplazamiento de una curva tautocrona; parece aproximadamente circular si solo miras una pequeña sección cerca de la parte inferior. Esta es una forma intuitiva de explicar por qué un péndulo circular tiene aproximadamente este comportamiento con ángulos pequeños.
(Henning también mencionó una curva tautocrona en su respuesta. Parecía ser una forma apropiada de agregar más intuición a esto)
Intuición ondulada a mano: Supongamos que no conocemos los péndulos pero queremos construir una trayectoria unidimensional, tal que una masa puntual restringida a esta trayectoria puede oscilar alrededor de un punto bajo con diferentes amplitudes pero con un período constante.
Hacemos esto de abajo hacia arriba, así que imagina que hemos construido el camino desde una altitud de $h_1$ hasta $0$ y de regreso hasta $h_1$ en el otro lado. Ahora queremos extender eso hasta una altitud un poco más alta $h_2$.
Cuando liberamos nuestra masa puntual en $h_2$, podemos calcular cuál será su energía cinética (y, por lo tanto, su velocidad) a cualquier altitud, por lo que podemos (al menos en principio) calcular cuánto tarda en pasar por el ya hecho $h_1$-a-$h_1$ segmento. Este será menos tiempo que nuestro período deseado, y la mitad del tiempo restante será el tiempo que la masa puntual debería tardar en pasar de $h_2$ a $h_1$. Si ese es tiempo suficiente (es decir, más de lo que le tomaría a la masa caer hacia abajo de $h_2$ a $h_1$), podemos ajustar el tiempo que tarda, simplemente haciendo de la sección de $h_2$ a $h_1$ un plano convenientemente inclinado.
Llevando este proceso al límite (donde $h_2$ es infinitesimalmente más alto que $h_1$) obtenemos una horrenda ecuación diferencial de retardo continuo que no me importa derivar en detalle ni resolver, pero Huygens lo hizo en 1659. y encontró que la solución es un invertido cicloide.
Entonces, si tenemos una lenteja deslizándose sin fricción a lo largo de una cicloide, tendrá el mismo período para cualquier amplitud.
Un péndulo, por supuesto, oscila en un círculo en lugar de un cicloide, pero el cicloide resulta ser lo suficientemente suave (con una curvatura finita pero distinta de cero) en la parte inferior que puede ser aproximado por un circulo. Esta aproximación es lo suficientemente buena como para que el diferencia en el período entre el círculo y la cicloide van a $0$ cuando la amplitud va a $0$.
Para pequeños desplazamientos angulares, la ecuación diferencial del péndulo es efectivamente lineal y, como tal, la amplitud de la oscilación deber ser independiente del período. ¿Por qué?
Para un sistema lineal, si $x_1(t)$ y $x_2(t)$ son dos soluciones independientes, entonces $x_3(t) = a_1x_1(t) + a_2x_2(t)$ también es una solución (propiedad de superposición).
Entonces, si un péndulo linealizado tiene una solución sinusoidal $x_1(t) = cos(omega_0 t + phi_0)$, entonces $Acos(omega_0 t + phi_0)$ también es una solución por la superposición propiedad.
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