Luego de consultar especialistas en este tema, programadores de deferentes ramas y maestros dimos con la solución a la interrogande y la dejamos plasmada en esta publicación.
Solución:
La conclusión, la afirmación del teorema virial, no es “solo algo de matemática” porque todos los objetos en la afirmación tienen una interpretación física. Así que es física y tiene grandes implicaciones tanto en la física teórica como en la física aplicada.
La derivación es una derivación matemática, pero no es correcto agregar la palabra irrespetuosa “solo” a una derivación matemática. Las derivaciones matemáticas son las más sólidas y las únicas derivaciones verdaderamente sólidas que uno puede tener en ciencia. Por el contrario, son las derivaciones y las intuiciones las que son no matemáticos que deberían ir acompañados de la palabra “justo” porque son inferiores. En cambio, la forma correcta es ajustar la intuición de uno para que sea compatible con los resultados más sólidos de la física, y son los resultados formulados matemáticamente. Por cierto, hay varias derivaciones, que se ocupan del conjunto microcanónico, el conjunto canónico, etc. Los detalles de la prueba difieren en estas variaciones, pero la conclusión física general es compartida e importante.
La prueba exacta del teorema no se puede simplificar demasiado, de lo contrario la gente lo haría, pero se pueden ofrecer pruebas heurísticas aproximadas para versiones aproximadas del teorema virial y sus casos especiales. Por ejemplo, la cantidad en el valor esperado contiene la derivada de $H$ con respecto a una coordenada. Cuanto mayor es la derivada, más aumenta el hamiltoniano con la coordenada, y más disminuye el factor de Boltzmann $exp(-H/kT)$ de la distribución canónica con la coordenada, lo que hace que el valor esperado de la coordenada sea más pequeño. Entonces, si volvemos a multiplicar la cantidad por la coordenada, obtenemos algo que se comporta constantemente, independientemente de la pendiente. Y, de hecho, el valor esperado del producto solo depende de la temperatura.
Este teorema es importante en física estadística porque la física estadística tiene que ver con el cálculo de promedios estadísticos de varias cantidades, el teorema nos permite expresar algunos valores esperados de una manera más simple, y $x_i cdot partial H / partial x_j$ son entre las cantidades más simples e importantes cuyos promedios estadísticos pueden ser calculados o interesantes. Así que deberíamos saber mejor cómo se comportan.
Un caso especial importante del teorema que mencionaste trata sobre el cálculo del valor esperado de la energía cinética y la energía potencial. El primero es $n/2$ veces el segundo para potenciales de ley de potencias de la forma $ar^n$, por ejemplo. Entonces sabemos qué porcentaje de la energía se almacena en la cinética y qué porción es la energía potencial. Por ejemplo, tanto la energía cinética como la potencial contribuyen en un 50 % a los potenciales $r^2$ similares a los de un oscilador armónico. Para el potencial Kepleriano o Coulomb $-C/r$, es decir, $n=-1$, la energía potencial es negativa, $-|V|$, y la energía cinética es $+|V|/2$, reduciendo el potencial en un 50% manteniendo la energía total negativa. Hay muchas otras cosas que podemos aprender del teorema en varias situaciones y en clases de situaciones.
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