Luego de investigar en diversos repositorios y páginas webs de internet finalmente nos hemos encontrado la resolución que te compartimos ahora.
Solución:
Algunos textos lo consideran una convención, ¡pero en realidad es un cómputo!
Para el conjunto fijo $S$estamos viendo el conjunto $mathcal P(S)$el conjunto de todos los subconjuntos de $S$. Con las operaciones de intersección y unión (de muchos subconjuntos arbitrarios) el conjunto $mathcal P(S)$ es lo que se conoce como un retículo completo (no te preocupes si no sabes lo que eso significa).
Primero, uno puede argumentar intuitivamente: cuantos más subconjuntos de $S$ se cruzan, más pequeña es la intersección. O, cuantos menos subconjuntos intersecte, mayor será la intersección. Entonces, la intersección de ningún subconjunto en absoluto, la menor cantidad de conjuntos que puede intersectar, debe ser el subconjunto más grande posible. A saber, $bigcap_iinemptysetA_i=S$. Del mismo modo, cuantos menos subconjuntos tomes como unión, más pequeña será la unión. Entonces, la unión de ningún subconjunto debe ser el conjunto más pequeño posible. A saber, $bigcup _iinemptysetA_i=emptyset$.
Ahora, para hacer las cosas más formales, definamos la intersección y la unión en $mathcal P(S)$. La definición será equivalente a las definiciones de la teoría de conjuntos pero sólo hará uso de la relación de inclusión de orden parcial. Dada una colección $A_i_ien I$ de subconjuntos de $S$su intersección es el subconjunto más grande de $S$ que está contenido en cada $A_i$ (Observe que esto está diciendo que la intersección es un límite inferior máximo). De manera similar, la unión de la familia de subconjuntos es el subconjunto más pequeño de $S$ que contiene cada $A_i$ (Observe que esto dice que la unión es un límite superior mínimo). Dicho sea de paso, este punto de vista apunta muy claramente a una dualidad entre unión e intersección.
Así que ahora, la intersección de ningún subconjunto es el subconjunto más grande de $S$ que está contenido en cada uno de los subconjuntos dados. No hay subconjuntos dados en absoluto, por lo que (vacuamente) cualquier subconjunto $Bsubconjunto S$ está contenida en cada uno de los inexistentes $A_i$. El mayor de ellos es $S$, prueba que $bigcap_iinemptysetA_i=S$. De manera similar, la unión de ningún subconjunto es el subconjunto más pequeño de S que contiene cada uno de los subconjuntos dados. No se dan subconjuntos, por lo que cualquier subconjunto $Bsubconjunto S$ contiene cada uno de los inexistentes $A_i$. El más pequeño de estos es $emptyset $por lo tanto prueba que $bigcup_ien emptysetA_i=emptyset$.
Tenga en cuenta que el hecho de que
$$bigcap_alpha in emptyset A_alpha = S$$
es No un convención – se sigue de la definición
$$bigcap_alpha in I A_alpha = x in S : text$x in A_alpha$, para todo $alpha in I$.$$
Esto se entiende mejor preguntando cuando es que para un $x in S$ dado tenemos $x notin bigcap_alpha in emptyset A_alpha$. Esto solo puede suceder si existe $alpha in emptyset$ tal que $x notin A_alpha$. Dado que $emptyset$ no tiene elementos, no puede existir tal $alpha$.
PD Se puede evitar la introducción de un conjunto de índices (algo arbitrario) en una intersección, por ejemplo. En su lugar, fije un conjunto $S$, tome un subconjunto $mathfrakS$ de $mathcalP(S)$ y defina $$ bigcap mathfrakS = x in S : text$x in A$ para todo $A in mathfrakS$ . $$ Entonces el argumento anterior se convierte en $$ bigcap emptyset = x in S : text$x in A$ para todo $A in emptyset$ = x in S : = S,$$ ya que no hay $A$ a considerar aquí.
Algunas manipulaciones simbólicas pueden ayudar, para ver lo que NO está en esos conjuntos,
$ x in bigcap_alpha in I A_alpha Longleftrightarrow forallalphain I, xin A_alpha \ x in bigcap_alpha in I A_alpha Longleftrightarrow forallalpha, alphain Irightarrow xin A_alpha \ x notin bigcap_alpha in I A_alpha Longleftrightarrow exists alfa: alphain I wedge xnotin A_alpha \ x notin bigcap_alpha in emptyset A_alpha Longleftrightarrow existsalpha: alphain emptyset cuña xno en A_alpha $
Tienes la posibilidad mostrar este artículo si te fue de ayuda.