Posterior a buscar en diferentes repositorios y sitios finalmente hallamos la respuesta que te mostramos pronto.
Solución:
En general,
$$emptyset cup S = S not=\emptyset cup S$$
Tenga en cuenta que en nuestro caso, $A = \emptyset, \emptyset , \emptyset\$, $A $ es un colocar de conjuntos y $emptyset $ es solo un conjunto sin nada. $B = \emptyset$ también es un conjunto de conjuntos, pero solo contiene el conjunto vacío. Entonces nosotros tenemos
$$A = \emptyset, B, B\ $$
Y así $A cap B = B = \emptyset$ dado que $B subset A $.
Además, para el $A $ dado, $A cup B = A $ Solo porque $B subconjunto A$. Hay muchos conjuntos $S $ donde $S cup B not= S$.
“Nada existe” es una forma (irónica) de pensar sobre el axioma del conjunto vacío.
El conjunto vacío $emptyset$ existe por decreto; es decir (ya sea directamente como un axioma o derivado de otros axiomas), $exists emptyset : forall x, x notin emptyset$.
Una vez que tengamos ninguna conjunto $x$, tenemos reglas mediante las cuales podemos probar la existencia de otros conjuntos; como el conjunto $x$ cuyo único elemento es $x$, y así sucesivamente. $emptyset$ no es diferente a este respecto; es un conjunto, y tenemos reglas que muestran cómo construir otros conjuntos a partir de conjuntos cuya existencia ya hemos probado.
La unión de dos conjuntos $A$ y $B$ es un conjunto con la propiedad $para todo x: (x in A cup B iff x in A lor x in B)$. Entonces, pensando en $emptyset cup A$, estamos hablando de un conjunto:
$$forall x: (x in emptyset cup A iff x in emptyset lor x in A)$$
Pero por definiciónnunca puede ser true que $x in emptyset$; por lo que lo anterior se reduce a:
$$para todo x: (x in emptyset cup A iff x in A)$$
o en otras palabras (ver axioma de extensionalidad); $emptyset cup A = A$.
Por otro lado sí existe algún conjunto $x$ st $x in \emptyset$; a saber, el conjunto $x = emptyset$. Entonces, cuando consideramos $\emptyset cup A$, estamos hablando del conjunto:
$$forall x: (x in \emptyset cup A iff x in \emptyset lor x in A)$$
Por lo tanto, $\emptyset cup A$ no es necesariamente igual a $A$; porque (dependiendo de $A$) puede que no tengamos $emptyset in A$, pero sí tenemos $emptyset in \emptyset$; y por lo tanto $emptyset in \emptyset cup A$.
Tenga en cuenta que $emptyset=$ que no contiene ningún elemento, mientras que el conjunto $X=$$emptyset$ no está vacío y contiene un elemento $emptyset$.
$emptyset$$cap A$ representa la intersección de $X$ con $A$ que es claramente el propio conjunto $X$ como $Xsubconjunto A$
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