Interpretando el significado del Teorema de Darboux

Ten en cuenta que en las ciencias informáticas un problema casi siempere suele tener diversas soluciones, no obstante aquí compartimos lo mejor y más eficiente.

Solución:

Se dice que una función $f: I rightarrow mathbbR$ tiene el Propiedad de valor intermedio (IVP) si para todo $a < b in I$ y todo $L$ entre $f(a)$ y $f(b)$, existe $c in (a,b)$ tal que $ f(c) = L$.

Ciertamente, la clase de funciones más famosa e importante que satisface IVP son las funciones continuas: este es el contenido de la Teorema del valor intermedio.

El teorema de Darboux da una segunda clase de funciones que satisfacen IVP: derivadas. Fíjate bien: no el funciones diferenciables pero las funciones que son de la forma $f’$ para alguna otra función $f$.

Este es ciertamente un resultado interesante, aunque algo sutil: la mayoría de las funciones diferenciables que uno encuentra en el cálculo de primer año en realidad tienen derivadas continuas, y en este caso el hecho de que $f’$ satisface IVP se deriva del Teorema del Valor Intermedio. Pero, de hecho, hay derivadas que son discontinuas, incluso bastante malas: a saber, hay funciones diferenciables $f: [a,b] rightarrow mathbbR$ tal que $f’: [a,b] rightarrow mathbbR$ existe pero no tiene límites. También hay funciones diferenciables con una derivada $f’$ que está acotada pero que, sin embargo, no es integrable por Riemann.

Uno puede ver el significado del teorema de Darboux de la siguiente manera: dice que una derivada puede ser discontinua pero no puede tener un discontinuidad de saltoes decir, una discontinuidad en la que los límites unilaterales existen pero son diferentes (y tampoco una discontinuidad removible, cuando el límite existe pero no es igual al valor en el punto). Este es un contraste interesante con funciones monótonasque tampoco necesita ser continuo pero puede tener solamente discontinuidades de salto.

En términos de aplicaciones reales del Teorema de Darboux… parece que son bastante pocas. Como mencioné en mi clase (cálculo de Spivak), puedes usar el teorema de Darboux junto con el (¡profundo!) teorema de que toda función continua admite una antiderivada para probar el teorema del valor intermedio… pero esta es una manera extraña de probar IVT.

Sobre el segundo resultado que menciona: admito estar algo perplejo en cuanto a lo que está haciendo allí: realmente no es un resultado estándar de libro de texto. Sin embargo, creo recordar que este teorema se usa para algo más adelante en el libro: esperemos y veamos. (Estoy casi a la mitad de mi curso de un año y actualmente hemos cubierto los primeros 13 capítulos).

Tengo algunos apuntes de clase para este curso que estoy enseñando; eres más que bienvenido a echarles un vistazo. Aquí está la página principal del curso. Este folleto sobre diferenciación y este folleto que incluye el “Teorema del salto monótono” (sobre discontinuidades de funciones monótonas) son directamente relevantes para su pregunta.

Recuerde el teorema del valor intermedio: dice que si $f$ es continua en $[a,b]$, y $c$ es algún número entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces hay algún $xin(a,b)$ tal que $f(x)=c$. En otras palabras, una función continua no puede pasar de $f(a)$ a $f(b)$ sin pasar por todos los valores intermedios.

Ahora bien, la derivada de una función no necesita ser continua, por lo que el teorema del valor intermedio no garantiza que si $c$ está entre $f;'(a)$ y $f;'(b)$, entonces hay alguna $xin(a,b)$ tal que $f;'(x)=c$. Sin embargo, esta afirmación es true: si $f$ es diferenciable en un intervalo, su derivada $f;’$ tiene esta misma propiedad de valor intermedio que poseen todas las funciones continuas. En otras palabras, una derivada no puede pasar de $f;'(a)$ a $f;'(b)$ sin pasar por todos los valores intermedios aunque no sea continua. Este es el contenido del teorema de Darboux.

Tiene razón en que la conclusión del segundo teorema que cita es que $f;’$ es continua en $a$. El teorema podría reformularse de la siguiente manera:

Si $f$ es continua en $a$, hay $ba$ tal que $f;'(x)$ existe para todo $xin(b,a)cup(a,c)$, y $limlimits_xto af;’ (x)$ existe, entonces $f;’$ es continua en $a$.

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