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Solución:
Se puede obtener una descripción geométrica de $A^T$ a partir de la descomposición SVD (esto será similar a su tercer punto). Cualquier matriz cuadrada $A in M_n(mathbbR)$ se puede escribir como un producto $A = S Lambda R^T$ donde $Lambda$ es una diagonal con entradas no negativas y ambas $S,R $ son matrices ortogonales. Las entradas diagonales de $Lambda$ se denominan valores singulares de $A$, mientras que las columnas de $S$ y $R$ se denominan vectores singulares izquierdos de $A$ y vectores singulares derechos de $A$, respectivamente, y pueden ser computado explícitamente (o al menos tan explícitamente como uno puede calcular valores propios y vectores propios). Usando esta descomposición, podemos describir $A^T$ como
$$ A^T = (SLambda R^T)^T = R Lambda S^T. $$
¿Qué significa esto geométricamente? Asumir por simplicidad que $n = 2$ (o $n = 3$) y que $det S = det R = 1$ por lo que $R,S$ son rotaciones. Si $A$ es simétrico, podemos escribir $A = R Lambda R^T$ donde $R$ es una rotación y $Lambda$ es una diagonal. Geométricamente, esto describe la acción de $A$ como la composición de tres operaciones:
- Realice la rotación $R^T$.
- Estire cada uno de los ejes de coordenadas $e_i$ por un factor $lambda_i$ (que es la entrada $(i,i)$ de $Lambda$).
- Finalmente, realiza la rotación $R$ que es la inversa de la rotación $R^T$.
En otras palabras, $A$ actúa girando, estirando los vectores base estándar y luego girando hacia atrás.
Cuando $A$ no es simétrico, no podemos tener tal descripción pero la descomposición $A = S Lambda R^T$ nos da la siguiente mejor opción. describe la acción de $A$ como la composición de tres operaciones:
- Primero, realiza la rotación $R^T$.
- Estira cada uno de los ejes de coordenadas $e_i$ por un factor $sigma_i$ (que es la entrada $(i,i)$ de $Lambda$).
- Finalmente, realice una rotación diferente $S$ que no sea necesariamente la inversa de $R^T$.
A diferencia del caso en que $A$ era simétrico, aquí $R neq S$, por lo que la acción de $A$ es una rotación, seguida de un estiramiento y luego de otra rotación. La acción de $A^T = RLambda S^T$ se obtiene invirtiendo los papeles de $R,S$ manteniendo los mismos factores de estiramiento. Es decir, $A$ gira $R^T$, se estira $Lambda$ y gira $S$ mientras que $A^T$ gira $S^T$, se estira $Lambda$ y gira $R PS
Al tratar de captar la relación entre $A$, $A^T$ y $A^-1$, creé la trama adjunta
Para $A^T$ esto dice:
- $mathcalr_U^T$ es la rotación realizada por $U^T$
- $mathcals_Sigma$ es el escalado realizado por $Sigma$
- $mathcalr_V$ es la rotación realizada por $V$
Los tres ejes muestran la descomposición SVD de las tres encarnaciones de $A$.
- Una línea verde entre dos ejes indica igualdad.
- Una línea roja indica una contraposición.
En resumen, esto dice
“$A^T$ escalas como $A$, pero gira como $A^-1$.”
Entonces, $A^T$ tiene más en común con $A^-1$ entonces tiene en común con $A$.
No todas las matrices tienen inversa.
Si el inverso no existe, la trama aún se puede hacer, reemplazando $A^-1$ con $A^daga$ y $Sigma^-1$ con $Sigma^daga$.
$A^daga$ es el inverso generalizado de $A$.
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