Este dilema se puede abordar de diferentes maneras, pero nosotros te enseñamos la respuesta más completa para nosotros.
Solución:
Creo que está mezclando la noción de índice (abstracto) con una notación sin índice. Si toma $xi$, $eta$ y $v$ como campos vectoriales, entonces $(nabla_xinabla_eta)v$ no tiene sentido, ya que puede aplicar una derivada covariante solo a un campo vectorial y no al operador $nabla_eta$. La ecuación que está buscando es que si extiende la derivada covariante a una operación en campos tensoriales, entonces dado $v$, puede formar el campo tensor $binom11$ $nabla v$ definido por $etamapsto nabla_eta v$. Aplicando la derivada covariante a eso, se obtiene un campo tensor $binom12$ que generalmente se denota por $nabla^2v$. De hecho, esto viene dado por $(nabla^2v)(xi,eta)=nabla_xinabla_eta v-nabla_nabla_xietav$. La ausencia de torsión de la conexión implica entonces que $nabla_xieta-nabla_etaxi=[xi,eta]$ y usando esto, ves que la curvatura viene dada por $$ R(xi,eta)(v)=(nabla^2v)(xi,eta)-(nabla^2v)(eta ,xi)=nabla_xinabla_eta v-nabla_etanabla_xi v-nabla_[xi,eta]v. $$ Su confusión probablemente proviene del hecho de que en la notación de índice (abstracta), se usaría $nabla_av^b$ como símbolo para el campo de tensor $binom11$ $nabla v$. Pero aquí $a$ y $b$ no son campos vectoriales sino índices (abstractos) (y no puede omitir “$b$”, de lo contrario $v$ sería una función en lugar de un campo vectorial). En consecuencia, $nabla^2v$ se denotará por $nabla_anabla_bv^c$ (y de nuevo $a,b,c$ son índices y no campos vectoriales). En esta notación, la definición de curvatura a través de $nabla^2v$ como arriba se lee como $R_ab^c_dv^d=nabla_anabla_bv^c-nabla_bnabla_av^c$.
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