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Solución:
consideramos el tensor de Riemann primero. Una observación crucial es que si transportamos en paralelo un vector $u$ en $p$ a $q$ a lo largo de dos caminos diferentes $vw$ y $wv$, los vectores resultantes en $q$ son diferentes en general (figura siguiente). Sin embargo, si transportamos en paralelo un vector en un espacio euclidiano, donde el transporte paralelo se define en nuestro sentido habitual, el vector resultante no depende del camino por el que ha sido transportado en paralelo. Esperamos que esta no integrabilidad del transporte paralelo caracterice la noción intrínseca de curvatura, que no depende de las coordenadas especiales elegidas.
Es útil decir que en este sentido la visualización del primera identidad de Bianchi es muy fácil:
Podemos dar una interpretación geométrica cuantitativa a la tensor de curvatura seccional en cualquier dimensión. Sea M una n-variedad riemanniana y p ∈ M. Si $Pi$ es cualquier subespacio de $2$ dimensiones de $T_pM$, y $V subset T_pM$ es cualquier entorno de cero en el que $exp_p$ es un difeomorfismo, entonces $S_Pi := exp_p(Pi cap V)$ es una subvariedad $2$-dimensional de $M$ que contiene $p$ (figura siguiente), llamada sección plana determinada por $Pi$. Tenga en cuenta que $S_Pi$ es solo el conjunto barrido por las geodésicas cuyos vectores tangentes iniciales se encuentran en $Pi$. Definimos la curvatura seccional de $M$ asociada con $Pi$, denominada $K(Pi)$, como la curvatura gaussiana de la superficie $S_Pi$ en $p$ con la métrica inducida. Si $(X, Y)$ es cualquier base para $Pi$, también usamos la notación $K(X, Y)$ para $K(Pi)$.
Proposición: Si $(X, Y)$ es cualquier base para un plano $2$ $Pi subset T_pM$, entonces $$K(X,Y)=fracRm(X,Y,Y,X) Y$$
También podemos dar una interpretación geométrica para las curvaturas de Ricci y escalar. Dado cualquier vector unitario $V in T_pM$, elija una base ortonormal $E_i$ para $T_pM$ tal que $E_1 = V$ . Entonces $Rc(V, V )$ viene dado por
$$Rc(V,V)=R_11=R_k11^k=sum_k=1^n Rm(E_k,E_1,E_1,E_k)=sum_k=2 ^nK(E_1,E_k)$$
Por lo tanto el tensor de Ricci tiene la siguiente interpretación: Para cualquier vector unitario $V in T_pM$, $Rc(V, V )$ es la suma de las curvaturas seccionales de los planos atravesados por $V$ y otros elementos de base ortonormal. Dado que $Rc$ es simétrico y bilineal, está completamente determinado por sus valores de la forma $Rc(V, V )$ para los vectores unitarios $V$ .
De manera similar, la curvatura escalar es
$$S=R_j^j=sum_j=1^n Rc(E_j,E_j)=sum_j,k=1^nRm(E_k,E_j,E_j,E_k)=sum_ jne kK(E_j,E_k)$$
Por lo tanto, la curvatura escalar es la suma de todas las curvaturas seccionales de planos atravesados por pares de elementos base ortonormales.
Tenga en cuenta que sus interpretaciones geométricas bidimensionales son extrínsecas: está viendo incrustaciones de superficies en $mathbbR^3$. En general, es mejor pensar en términos de propiedades geométricas intrínsecas.
Las interpretaciones geométricas más fáciles de las curvaturas Scalar y Ricci son en términos de volumen (mientras que el resto del tensor de curvatura, la parte de Weyl, representa la curvatura “retorcida” no volumétrica). En particular, el volumen de una bola de radio $r$ centrada en $p$ es $$ textrmVolumen(B(p,r)) = (1 – textrmScal(p) Cr^2 + O(r^4)) V_E^n (r)$$ donde $V_E^n(r)$ es el volumen de dicha bola en el espacio euclidiano y $C$ es una constante que depende únicamente de la dimensión; por lo que la curvatura escalar mide la tasa de crecimiento de las bolas al orden más bajo que no desaparece. Debería poder casar esto con su intuición para el caso bidimensional: las “colinas” (o para un ejemplo más extremo, una esfera cerrada) de curvatura positiva tienen menos área disponible en radios grandes de lo que espera, mientras que la forma de silla de montar tiene mas.
La Curvatura de Ricci hace algo similar, pero para una dirección particular: dado un vector tangente $v$ en un punto $p$, la curvatura de Ricci $textrmRc(v,v)$ describe la tasa de crecimiento del volumen de un cono delgado en la dirección $v$. Tenga en cuenta que la simetría del tensor de Ricci significa que está determinada por sus valores en la diagonal; así que este es su contenido completo.
Es un poco más difícil tener una idea completa del tensor de Riemann completo: creo que lo más fácil de pensar son las curvaturas seccionales $K(Pi) = R(u,v,u,v)$ donde $u,v $ forman una base ortonormal para el plano $Pi$ en el punto $p$. Esto es (hasta alguna constante) solo la curvatura gaussiana/escalar de la superficie generada por geodésicas con velocidades en $Pi$; para que pueda interpretar la curvatura de la sección en términos de la tasa de crecimiento del área en cortes bidimensionales. Tenga en cuenta una vez más que varias simetrías implican que las curvaturas de sección determinan el tensor de Riemann completo.
En este contexto, la mayoría de las “interpretaciones” son inútiles. La pregunta principal es dónde aparece la curvatura.
Para la curvatura de Ricci hay tres lugares:
- Fórmula de Bochner para 1-formas.
- Primera variación para la curvatura media de la hipersuperficie.
- flujo de ricci
Todo lo conocido proviene de estos, de una forma u otra.
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