Posterior a de esta prolongada selección de datos pudimos solucionar esta impedimento que presentan ciertos de nuestros lectores. Te compartimos la solución y esperamos resultarte de gran apoyo.
Solución:
Casi diecisiete meses después, creo que encontré las respuestas que estaba buscando en la geometría diferencial elemental de Barrett O’Neill.
Ya que O’Neill explica las cosas mejor que yo, voy a parafrasear extractos de su texto, casi citando literalmente, modificando algo de notación y terminología para que se ajuste a la mía (¡tal es la geometría diferencial!). En resumen, no hago ninguna afirmación de originalidad.
Nota: Dado que el tratamiento es “elemental”, O’Neill trabaja en $ mathbb R ^ 3 $.
Conexión $ 1 $ -formas
El poder de las fórmulas de Frenet-Serret se deriva del hecho de que expresan las derivadas $ T ‘, N’, B ‘$ en términos de $ T, N, B $ – y por lo tanto definen la curvatura y la torsión. Las formas de conexión $ 1 $ hacen lo mismo, expresando las derivadas covariantes de un marco local en términos de los propios campos vectoriales.
Sea $ E_i $ un marco ortonormal local. La definición $$ omega ^ j_i (X) = langle nabla_X E_i, E_j rangle $$ muestra que $ omega ^ j_i (X) $ es la tasa inicial a la que $ E_i $ rota hacia $ E_j $ como el punto se mueve en la dirección $ X $.
Las ecuaciones de conexión $ nabla_ X E_i = omega ^ j_i (X) E_j $ dan información sobre la “tasa de rotación” del marco ortonormal local $ E_i $.
Las ecuaciones de la estructura de Cartan en $ mathbb R ^ 3 $
En $ mathbb R ^ 3 $, la primera ecuación de estructura de Cartan dice $$ d phi ^ j = phi ^ i wedge omega ^ j_i, $$ donde $ phi ^ i $ es el coframe dual a $ E_i $. Esta ecuación puede reconocerse como el dual de las ecuaciones de conexión $ nabla_ X E_i = omega ^ j_i (X) E_j $.
En $ mathbb R ^ 3 $, la segunda ecuación de estructura de Cartan dice $$ d omega ^ j_i = omega ^ k_i wedge omega ^ j_k. $$ Estas ecuaciones muestran que $ mathbb R ^ 3 $ es plano.
Superficies en $ mathbb R ^ 3 $
Sea $ M subset mathbb R ^ 3 $ una superficie sumergida isométricamente. Dejamos que $ E_1, E_2, N $ denote un marco ortonormal local para $ mathbb R ^ 3 $ que tiene $ N $ normal a $ M $. Por lo tanto, si $ phi ^ 1, phi ^ 2, phi ^ 3 $ denota el coframe dual, entonces $ phi ^ 3 | _M = 0 $.
Tomando $ E_i = N $ en las ecuaciones de conexión $ nabla_X E_i = omega ^ j_i (X) E_j $ muestra que $$ – nabla_XN = omega ^ 3_1 (X) E_1 + omega ^ 3_2 (X) E_2. $$ Por definición, el término del lado izquierdo es el operador de forma $ S (X) = – nabla_XN $. Por lo tanto, interpretamos las formas de conexión $ 1 $ de la siguiente manera:
- $ omega ^ 2_1 $: da la tasa de rotación de $ E_1, E_2 $
- $ omega ^ 3_1 $ y $ omega ^ 3_2 $ – Describe el operador de forma
La segunda ecuación de estructura de Cartan en $ mathbb R ^ 3 $ implica las ecuaciones de Gauss-Codazzi: $$ begin align * d omega ^ 2_1 & = omega ^ 3_2 wedge omega ^ 3_1 text (Ecuación de Gauss) \ d omega ^ 3_1 & = omega ^ 2_1 wedge omega ^ 3_2 text (Codazzi) \ d omega ^ 3_2 & = omega ^ 1_2 wedge omega ^ 3_1 text (Codazzi) end align * $$
Por analogía con la fórmula $ S (X) times S (Y) = K , (X times Y) $, donde $ K $ es la curvatura gaussiana, se puede probar que $$ omega ^ 3_1 wedge omega ^ 3_2 = K , phi ^ 1 wedge phi ^ 2. $$ Junto con la ecuación de Gauss, esto implica la segunda ecuación de estructura de Cartan para $ M $: $$ d omega ^ 2_1 = -K , phi ^ 1 wedge phi ^ 2. $$
Para empezar, una conexión en una variedad tiene que ver con el transporte paralelo de vectores tangentes. Piense en una superficie incrustada en un espacio tridimensional y una curva en esa superficie. Fije un punto y un vector en este punto que sea tangente a la superficie.
En $ mathbb R ^ 3 $ hay un sentido intuitivo de transporte paralelo de este vector a lo largo de la curva (que no explicaré, a menos que tú quieras). Si transporta en paralelo un vector a lo largo de una curva en la superficie desde un punto $ p_1 $ a un punto $ p_2 $ en este sentido, entonces el vector en el punto $ p_2 $ ya no será necesariamente tangente a la superficie.
Esto significa que si bien existe una forma canónica de transporte paralelo para vectores tangentes en $ mathbb R ^ n $, no existe una para múltiples. Aquí es donde entra la conexión: especificar una conexión en una superficie (o más generalmente en una variedad) es lo mismo que decir cómo proyectar el vector en el punto $ p_2 $ al espacio tangente del punto $ p_2 $. O, para reformularlo: cómo transportar un vector tangente a lo largo de una curva de manera que el vector transportado siga siendo un vector tangente. Este tipo de transporte es entonces el “transporte paralelo con respecto a la conexión especificada”.
La curvatura mide cuánto se desvía el transporte paralelo en la superficie del transporte paralelo en el ambiente $ mathbb R ^ 3 $.
La torsión es un poco más complicada: mide cómo giran los “vectores tangentes” cuando se transportan en paralelo.
Digamos que fija un punto $ p $ y dos vectores tangentes $ vec v $ y $ vec u $ en p. ¿Qué sucede si transporta en paralelo $ vec v $ en la dirección de $ vec u $ de una “cantidad infinitesimal $ epsilon $” y compara esto con el resultado de transportar $ vec u $ en la dirección de $ vec v $ por una “cantidad infinitesimal $ epsilon $”? Si la torsión es cero, entonces las puntas de $ vec v $ y $ vec u $ darán un error de $ epsilon ^ 3 $.
No es tan fácil precisar estas ideas intuitivas y relacionarlas con las definiciones habituales, pero puedo recomendar un buen libro donde se explica esto con más detalle:
- John Baez, Javier Muniain: “Campos de calibre, nudos y gravedad”
Consulte Geometría sintética de colectores de Kock para obtener una descripción geométrica agradable de las formas de conexión, las formas de curvatura y la torsión en términos de transporte paralelo. Mi respuesta mathoverflow aquí da una explicación de la torsión desde este punto de vista.
Daré un resumen de cómo pensar intuitivamente en la forma de conexión. Dejar $ nabla $ ser una opción de conexión (es decir, un mapa de transporte paralelo) en un paquete $ E a M $. Si $ x $ y $ y $ son puntos infinitesimalmente cercanos (de primer orden, técnicamente) en $ M $ y $ u $ está en la fibra $ E_x $, entonces podemos transportar $ u $ a lo largo de la (elevación horizontal de) el segmento de línea infinitesimal que une $ x $ para $ y $ para obtener un elemento $ nabla (x, y) u $ en la fibra $ E_y $.
En otras palabras, para cualquier par de vecinos infinitesimales $ x, y en M $ tenemos un mapa $$ nabla (x, y): E_x a E_y. $$
Solo requerimos eso $ nabla (x, x) = text id _ E_x $.
Si el paquete $ E $ tiene una estructura adicional, a menudo queremos que el transporte paralelo preserve esa estructura. Por ejemplo, para un paquete de vectores probablemente queramos que los mapas $ nabla (x, y) $ para ser lineal, y para un $ G $-principal bundle probablemente queremos que los mapas sean $ G $-equariante. Esto nos da la noción de una conexión lineal y una conexión principal, respectivamente.
Ahora, veamos dónde entran las formas de conexión. Supongamos que tenemos una conexión $ nabla $ a (derecha) $ G $-paquete principal $ p: P a M $. No necesitamos que sea $ G $-equivalente, pero obviamente sería bueno. De todos modos, si $ u $ y $ v $ son vecinos infinitesimales en $ P $, entonces podemos proyectar hacia abajo $ M $ para conseguir un par de vecinos infinitesimales $ p (u) $ y $ p (v) $. Vamos a transportar $ u $ a la fibra que contiene $ v $ a lo largo de la curva infinitesimal correspondiente para obtener el elemento $ nabla (p (u), p (v)) u $ que se encuentra en la misma fibra que $ v $. Pero la accin de $ G $ sobre $ P $ es simplemente transitivo, por lo que hay un elemento único de $ omega (u, v) en G $ tal que
$$ v. omega (u, v) = nabla (p (u), p (v)) u. $$
los $ omega $ ¡Aquí está el formulario de conexión!
Pero espera, podrías preguntar, ¿por qué $ omega $ tomar un par de puntos infinitesimalmente cercanos en $ P $ como argumentos en lugar de un vector tangente a $ P $y por qué tiene valores en $ G $ en lugar del álgebra de mentiras $ frak g $? Bueno, la respuesta a la primera pregunta debería ser obvia: si dos puntos en $ P $ están infinitesimalmente cerca (de primer orden), se encuentran en un vector tangente a $ P $. La respuesta a la segunda pregunta es que $ omega (u, v) $ es siempre un vecino infinitesimal de la identidad del grupo $ e en G $, por lo que se encuentra en un vector tangente a $ G $ a $ e $, y por lo tanto un elemento del álgebra de mentiras $ mathfrak g $.
Si dibuja una imagen de esta situación, puede ver que la forma de conexión es la “parte vertical” del transporte paralelo en un paquete principal.
Es fácil comprobar que $ G $-La equivariancia de una conexión principal (mapa de transporte) es equivalente a la equivariancia habitual de la forma de conexión (con respecto a la acción principal y adjunta) en esta imagen.
Ahora, para interpretar la curvatura, pensemos en cualquier paquete $ pi: E a M $ con conexión $ nabla $. Usemos la notación $ x sim y $ para indicar que dos puntos son vecinos infinitesimales. Si tenemos tres puntos $ x, y, z en M $ tal que $ x sim y $, $ y sim z $ y $ z sim x $. Estos tres definen un 2-simplex infinitesimal en $ M $. Consideremos el transporte alrededor (el límite de) este símplex:
$$ R (x, y, z) = nabla (z, x) circ nabla (y, z) circ nabla (x, y): E_x a E_x $$
Si transportamos un punto $ w en E_x $ alrededor del simplex, no tenemos ninguna garantía de que volvamos al punto de partida. Ésta es precisamente la noción de curvatura. los la curvatura mide la medida en que el transporte paralelo alrededor de 2-simplices infinitesimales se desvía de la identidad.
Si $ E $ es un paquete de vectores con una conexión lineal, entonces $ R (x, y, z): E_x a E_x $ es lineal, como se esperaba. Si $ E $ es un paquete principal, entonces podemos usar el mismo truco que usamos para el formulario de conexión para definir el $ frak g $-forma de curvatura valorada $ Omega (x, y, z) $ desde la curvatura $ R $.
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