Contamos con el resultado a esta cuestión, al menos eso creemos. Si sigues con interrogantes coméntalo, que sin dudarlo te responderemos
Solución:
Una interpretación geométrica en cuatro pasos intuitivos …
El determinante es el factor de cambio de volumen
Piense en la matriz como una transformación geométrica, mapeando puntos (vectores de columna) a puntos: $ x mapsto Mx $. El determinante $ mbox det (M) $ da el factor por el cual los volúmenes cambian bajo este mapeo.
Por ejemplo, en la pregunta se define el determinante como el volumen del paralelepípedo cuyas aristas están dadas por las columnas de la matriz. Esto es exactamente a lo que se asigna el cubo unitario, por lo que nuevamente, el determinante es el factor por el cual cambia el volumen.
Una matriz asigna una esfera a un elipsoide
Al ser una transformación lineal, una matriz asigna una esfera a un elipsoide. La descomposición de valores singulares lo deja especialmente claro.
Si considera los ejes principales del elipsoide (y su preimagen en la esfera), la descomposición del valor singular expresa la matriz como un producto de (1) una rotación que alinea los ejes principales con los ejes de coordenadas, (2) escalas en el coordenadas de las direcciones del eje para obtener la forma elipsoidal, y (3) otra rotación a la posición final.
La transposición invierte la rotación pero mantiene la escala
La transposición de la matriz está muy relacionada, ya que la transposición de un producto es el producto inverso de las transposiciones, y la transposición de una rotación es su inversa. En este caso, vemos que la transposición viene dada por la inversa de la rotación (3), la mismo escala (2), y finalmente la inversa de rotación (1).
(Esto es casi lo mismo que la inversa de la matriz, excepto que la inversa naturalmente usa la inverso de la escala original (2).)
La transposición tiene el mismo determinante
De todos modos, las rotaciones no cambian el volumen, solo el paso de escala (2) cambia el volumen. Dado que este paso es exactamente el mismo para $ M $ y $ M ^ top $, los determinantes son los mismos.
Esta es más o menos una reformulación de la respuesta de Matt. Él confía en la existencia de la descomposición de la SVD, muestro que $ det (A) = det (A ^ T) $ puede expresarse de una manera un poco diferente.
Cada matriz cuadrada se puede representar como el producto de una matriz ortogonal (que representa una isometría) y una matriz triangular superior (descomposición QR), donde el determinante de una matriz triangular superior (o inferior) es solo el producto de los elementos a lo largo de la diagonal. (que permanecen en su lugar bajo transposición), por lo que, según la fórmula de Binet, $ A = QR $ da:
$$ det (A ^ T) = det (R ^ TQ ^ T) = det (R) det (Q ^ T) = det (R) det (Q ^ – 1), $ PS$$ det (A ^ T) = frac det R det Q = det (Q) det (R) = det (QR) = det (A), $$
donde usamos que la transpuesta de una matriz ortogonal es su inversa, y el determinante de una matriz ortogonal pertenece a $ – 1,1 $ – dado que una matriz ortogonal representa una isometría.
También puedes considerar que PS PS el determinante de una matriz se conserva en los movimientos de fila de Gauss (reemplazando una fila con la suma de esa fila con una combinación lineal de las otras) y los movimientos de columna de Gauss también, ya que el volumen abarcado por $ (v_1, ldots, v_n) $ es el mismo del volumen generado por$ (v_1 + alpha_2 v_2 + ldots, v_2, ldots, v_n) $ . Por movimientos de fila de Gauss puedes poner $ A $ en forma triangular superior$ R $ , entonces ten $ det A = prod R_ ii. $ Si aplica los mismos movimientos que los movimientos de la columna$ A ^ T $ , terminas con $ R ^ T $ que es triangular inferior y tiene el mismo determinante de$ R $ , obviamente. Entonces, para proporcionar una prueba “realmente geométrica” de que$ det (A) = det (A ^ T) $ , solo necesitamos proporcionar una interpretación “realmente geométrica” dePS PS . Una intuición es que el volumen del paralelepípedo originalmente atravesado por las columnas de $ A $ es lo mismo si cambiamos, por ejemplo, la base de nuestro espacio vectorial enviando $ (e_1, ldots, e_n) $ en $ (e_1, ldots, e_ i-1, e_i + alpha , e_j, e_ i + 1, ldots, e_n) , $con
$ i neq j $
, ya que el objeto geométrico es el mismo, y solo estamos cambiando su “descripción”.
Desde $ text sign ( sigma ^ – 1) = text sign ( sigma) $ y $ phi: S_n a S_n, sigma mapsto sigma ^ – 1 $ es una biyección, tenemos $ det (A) = sum _ sigma en S_n text sign ( sigma) prod_ i = 1 ^ na_ i sigma (i) = sum _ sigma in S_n text sign ( sigma ^ – 1) prod_ i = 1 ^ na _ sigma ^ – 1 (i) i = sum _ sigma in S_n text signo ( sigma) prod_ i = 1 ^ na _ sigma (i) i = det (A ^ t) $
Nota: No estoy usando la definición geométrica, pero solo pude publicar esto aquí, ya que la pregunta sin el requisito geométrico se marcó incorrectamente como un duplicado de este problema.