Esta es la solución más válida que encomtrarás compartir, sin embargo estúdiala detenidamente y valora si es compatible a tu trabajo.
Solución:
Tal como están las cosas, las formas diferenciales no te cuentan toda la historia: estrictamente hablando, las formas diferenciales solo se ocupan de los covectores y los productos de cuña de los covectores y luego usan el martillo de la estrella de Hodge para poder hacer torpemente productos internos. Para mí, está demasiado alejado del cálculo vectorial que quizás ya conozcas.
En cambio, le recomiendo encarecidamente que investigue el álgebra geométrica. Todos los resultados de las formas diferenciales también se aplican al álgebra geométrica (el primero está estrictamente contenido en el último), pero la notación es mucho más familiar y el énfasis está en la interpretación geométrica en lugar de empujar símbolos abstractos. David Hestenes tiene varios libros sobre el tema. Probablemente la pieza autorizada en cuanto al uso del álgebra geométrica para resolver problemas físicos es Álgebra geométrica para físicos por Doran y Lasenby. También puede leer algunas cosas rápidamente en este sitio web, escrito por Gull, Doran y Lasenby.
Daré un resumen rápido. El álgebra geométrica tiene un producto de cuña como lo hacen las formas diferenciales, pero también te permite usar directamente un producto de punto. De hecho, combina los dos en una operación útil llamada producto geométrico, definido de la siguiente manera. Para dos vectores $a, b$, el producto geométrico $ab$ es
$$ab = a cdot b + a cuña b$$
El producto geométrico es asociativo (¡aunque el producto escalar no lo es!). Esto lo hace muy útil. También es invertible en el espacio euclidiano, como consecuencia de esa asociatividad. Esto hace posible la fórmula
$$a = abb^-1 = (a cdot b) b^-1 + (a cuña b) cdot b^-1$$
Geométricamente, esto descompone $a$ en $a_parallel, b$ y $a_perp, b$. Hacemos hincapié en que $a wedge b$ denota un plano orientadoy otros productos de cuña producen volúmenes orientados y más.
Algunas aplicaciones inmediatas a la física son las siguientes:
- Momento angular como bivector. Esta es una de las primeras veces que “necesita” un producto cruzado, y usar el producto de cuña en su lugar produce una interpretación más clara. El bivector de momento angular es exactamente el plano en el que dos objetos se mueven uno respecto al otro. Esto también se generaliza más allá de 3d, por lo que tiene sentido hablar también de bivectores de momento angular en relatividad.
- Unificación de teoremas integrales (el teorema fundamental del cálculo). El cálculo geométrico (como las formas diferenciales) hace posible la unificación del teorema de la divergencia, el teorema de Stokes, etc., como un concepto básico: que la integral de una función sobre un límite es igual a la integral de la derivada sobre la región limitada por ese límite. Creo que este es un problema significativo de calidad de vida; tener que recordar un solo concepto es mucho más fácil, en mi opinión, que recordar muchos teoremas integrales separados.
- Relatividad sin índices ni cálculo tensorial clásico. La combinación del álgebra geométrica de los productos de puntos y cuñas hace posible todas las operaciones habituales para las que normalmente se necesita el cálculo tensorial y la notación de índices. La relatividad se puede presentar utilizando una modesta extensión de los métodos utilizados en el electromagnetismo 3D. El producto geométrico hace posible reducir la ecuación de Maxwell en el vacío a uno ecuación (en lugar de dos para formas diferenciales): $nabla F = J$. Esto enfatiza la interpretación del campo EM $F$ como un campo bivector, un campo de planos orientados a lo largo del espacio-tiempo.
- Interpretación geométrica de la mecánica cuántica. Muchas de las matemáticas cuánticas se presentan como místicas o especiales para QM, pero la mayor parte es en realidad inherente a la estructura geométrica del espacio y el tiempo. El álgebra geométrica permite tratar las álgebras de Pauli y Dirac como álgebras de vectores base en el espacio 3d y 3+1d. Esto hace que la interpretación de los operadores de espín y de espín sea inherentemente geométrica.
- Construcción de espinores. Los espinores son cosas con las que a menudo tratamos cuánticamente, tal vez solo con el entendimiento de que deben rotarse a través de $4pi$ en lugar de $2pi$ para volver a su forma original. El álgebra geométrica muestra que los espinores son la base de todas las rotaciones, incluso las del antiguo espacio tridimensional. De hecho, los espinores del espacio 3d son cuaterniones, y los espinores del espacio 2d son números complejos. GA proporciona un marco para construir espinores y manipularlos como otros objetos.
Las formas diferenciales también pueden hacer algunas de estas cosas, otras no (absolutamente no se pueden reducir las ecuaciones de Maxwell a una sola expresión). Sin embargo, cualquiera de los dos formalismos es una gran mejora con respecto a los métodos tradicionales.
Realmente recomendaría el libro de Frankel, La Geometría de la Física. Se ocupa de todos los conceptos fundamentales de topología y geometría diferencial, pero da aplicaciones claras y detalladas a la mecánica clásica, electromagnetismo, GR y QM. No es demasiado formal, pero desarrolla muchas herramientas útiles utilizando formas diferenciales.
Otro libro, que es un poco más básico y es, por así decirlo, una versión ligera del libro de texto clásico de Mecánica de Arnold, es Mecánica geométrica, de Richard Talman. Uno puede desarrollar una intuición geométrica y física de formas diferenciales. Aquí las aplicaciones se reducen en su mayoría a la mecánica clásica.
Por supuesto, hay otros buenos textos, pero estos son realmente buenos puntos de partida.
También estoy de acuerdo con @Muphrid, en que el álgebra geométrica debería preferirse como lenguaje para la física moderna, en lugar de las formas diferenciales. Es mucho más claro y familiar. Consulte el libro de Lasenby y Doran y también la disertación de Anthony Lewis en cosmologist.info, que tiene un capítulo que trata solo de la traducción entre formas diferenciales y álgebra geométrica.
Puede que esto no sea exactamente lo que estás buscando, pero te voy a recomendar dos textos específicos.
Misner, Thorne y Wheeler, Gravitation, capítulos 4, 9 y finales del 14
Sólidamente en el ámbito de la física, pero tienen muchos detalles de interpretación allí.
Choquet-Bruhat y DeWitt-Morette, Análisis, variedades y física, Capítulo IV.C
Quiero decir, este texto es increíble. Todos deberíamos leerlo todo, todo el tiempo. Más matemático, pero eso es mejor en este caso. También es más aplicable que solo E/M + Gravity como MTW. Un poco viejo, pero es una buena notación para entrar.
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