La guía paso a paso o código que verás en este artículo es la resolución más eficiente y efectiva que hallamos a esta inquietud o problema.
Solución:
¿Todas las transformaciones de Lorentz tienen un determinante igual a 1? ¿Porque conservan el intervalo espacio-temporal?
Sí, lo hacen, pero la preservación del intervalo no es la forma correcta de pensar en el “por qué”.
Tenemos dos hechos:
-
Las transformaciones de Lorentz tienen el determinante jacobiano 1.
-
Las transformaciones de Lorentz conservan el intervalo de espacio-tiempo.
No existe una relación estrecha o simple entre estos hechos. En particular, 1 no implica 2. Por ejemplo, las transformaciones de Galileo tienen el determinante jacobiano 1, pero no conservan el intervalo de espacio-tiempo. De manera similar, podríamos definir una rotación en el plano $xt$, y tendría determinante jacobiano 1 pero no preservaría el intervalo de espacio-tiempo.
Está true que 2 implica 1, pero esto es simplemente porque 2 es suficiente para caracterizar completamente las transformaciones de Lorentz y por lo tanto dar todas sus propiedades indirectamente.
Para obtener una prueba general de la unidad jacobiana que se aplica tanto a las transformaciones de Galileo como a las transformaciones de Lorentz, consulte la respuesta a esta pregunta: ¿Motivación para la preservación del volumen del espacio-tiempo mediante la transformación de Lorentz?
Sí, el determinante de la matriz que expresa los componentes de una transformación de Lorentz está dictado por la necesidad de mantener invariable el intervalo de espacio-tiempo.
A continuación, usaré unidades naturales tales que $c=1$, usaré la convención de signos “Costa este” y usaré la convención de suma de Einstein. Los índices con prima indican componentes vectoriales o tensoriales expresados en el sistema de coordenadas con prima.
En cualquier sistema de coordenadas considerado por la relatividad especial, el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos se puede escribir
$$s^2= – (Delta t)^2 + (Delta x)^2 + (Delta y)^2 + (Delta z)^2 .$ PS
Esto significa que si definimos
$$A=leftlbrack beginmatrizDelta t \ Delta x \ Delta y \ Delta z endmatrizrightrbrack$$
podemos escribir el intervalo de espacio-tiempo como
$$s^2=A^mu g_munu A^nu ,$$
donde $g$ es la métrica de Minkowski, cuyos componentes son:
$$g_munu=leftlbrack beginmatriz-1&0&0&0 \ 0&1&0&0 \ 0&0&1&0 \ 0&0&0&1 endmatrizrightrbrack .$$
La métrica de Minkowski es lo que define la geometría del espacio-tiempo utilizado en la relatividad especial, el espacio de Minkowski. La métrica de Minkowski define qué son los intervalos, de la misma manera que la métrica euclidiana define qué longitudes hay en el espacio euclidiano. A key El punto sobre la métrica de Minkowski es que sus componentes son los mismos en cualquier sistema de coordenadas considerado por la relatividad especial. La invariancia de los intervalos es una consecuencia fácil y directa de la invariancia de los componentes de la métrica de Minkowski.
Para convertir un vector de un sistema de coordenadas a otro, usa una transformación de Lorentz una vez:
$$x^mu ‘=Lambda^mu ‘_nux^nu .$$
Pero la métrica de Minkowski es un tensor de rango dos. Para convertir un tensor de rango dos de un sistema de coordenadas a otro, usa una transformación de Lorentz dos veces, como
$$g_mu’ nu’=Lambda^sigma_mu ‘g_sigmarhoLambda^rho_nu ‘ ,$$
que se podría escribir en notación matricial como
$$g’ = Lambda^T g Lambda .$$
Pero como los componentes de la métrica de Minkowski son los mismos en cualquier sistema de coordenadas, también podemos escribir
$$g = Lambda^T g Lambda .$$
Tomando el determinante de ambos lados de esa ecuación da
$$det(g)=det(Lambda)det(g)det(Lambda) .$$
La única manera de que esa ecuación se cumpla es si
$$[det(Lambda)]^2=1 .$$
Hay dos formas posibles en que esa ecuación puede sostenerse. La posibilidad más comúnmente considerada es que
$$det(Lambda) = 1 ,$$
en cuyo caso la transformación se denomina transformación de Lorentz “adecuada”. La otra posibilidad es que
$$det(Lambda) = -1 ,$$
en cuyo caso la transformación se denomina transformación de Lorentz “impropia”. Las transformaciones de Lorentz impropias son menos útiles que las transformaciones de Lorentz propias.