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Solución:
La naturaleza de las singularidades en GR es un tema delicado. Una buena revisión de las dificultades presentadas para definir una singularidad se encuentran en el artículo de Geroch ¿Qué es una singularidad en GR?
El problema de unir un límite en general a un espacio-tiempo es que no existe una forma natural de hacerlo. por ejemplo, en la métrica FRW, la variedad en $ t = 0 $ puede describirse mediante dos sistemas de coordenadas diferentes como: $$ t, r cos theta, r sin theta cos phi, r sin theta sin phi $$ o $$ t, a (t) r cos theta, a (t) r sin theta cos phi, a (t) r sin theta sin phi $$ En el primer caso tenemos una superficie tridimensional, en el segundo un punto.
Puede resultar tentador definir una singularidad siguiendo otras teorías físicas como los puntos donde el tensor métrico no está definido o está por debajo de $ C ^ 2 $. Sin embargo, esto es problemático porque en el caso gravitacional el campo define también el fondo del espacio-tiempo. Esto representa un problema porque el tamaño, la ubicación y la forma de las singularidades no se pueden caracterizar directamente mediante ninguna medida física.
Los teoremas de Hawking y Penrose, comúnmente usados para mostrar que las singularidades en GR son genéricas bajo ciertas circunstancias, tienen la conclusión de que el espacio-tiempo debe ser geodésicamente incompleto (algunas trayectorias de luz o trayectorias de partículas no pueden extenderse más allá de un cierto tiempo adecuado o afín. parámetro).
Como se mencionó anteriormente, la peculiar característica de GR de identificar el campo y el fondo hace que la tarea de asignar una ubicación, forma o tamaño a las singularidades sea muy delicada. Si uno piensa en una singularidad del potencial gravitacional en términos clásicos, la afirmación de que el campo diverge en un lugar determinado es inequívoca. Como ejemplo, tome el potencial gravitacional de una masa esférica $$ V (t, r, theta, phi) = frac GM r $$ con una singularidad en el punto $ r = 0 $ para cualquier tiempo $ t $ en $ mathbb R $. La ubicación de la singularidad está bien definida porque las coordenadas tienen un carácter intrínseco que es independiente de $ V $ y se definen con respecto al static fondo del espacio-tiempo.
Sin embargo, esta prescripción no funciona en GR. Considere el espacio-tiempo con la métrica $$ ds ^ 2 = – frac 1 t ^ 2 dt ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2. $$ definido en $ (t, x, y, z) in mathbb R backslash 0 times mathbb R ^ 3 $. Si decimos que hay una singularidad en el punto $ t = 0 $, podríamos estar hablando pronto por dos razones. La primera es que $ t = 0 $ no está cubierto por nuestra tabla de coordenadas. No tiene sentido hablar de $ t = 0 $ como un punto en nuestra variedad usando estas coordenadas. Lo segundo es que la falta de un significado intrínseco de las coordenadas en GR debe tomarse en serio. Al hacer la transformación de coordenadas $ tau = log (t) $ obtenemos la métrica $$ ds ^ 2 = d tau ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2, $$ en $ mathbb R ^ 4 $ y permanecer isométrico al espacio-tiempo anterior definido en $ (t, x, y, z) in mathbb R backslash 0 times mathbb R ^ 3 $. Lo que hemos hecho es encontrar una extensión de la métrica a $ mathbb R ^ 4 $. La singularidad era solo una singularidad de coordenadas, similar a la singularidad del horizonte de eventos en las coordenadas de Schwarzschild. El espaciotiempo extendido es, por supuesto, el espaciotiempo de Minkowski, que no es singular.
Otro enfoque es definir una singularidad en términos de cantidades invariantes, como polinomios escalares de la curvatura. Son escalares formados por el tensor de Riemann. Si estas cantidades divergen, coincide con nuestra idea física de que un objeto que se aproxima a regiones de valores cada vez más altos deben sufrir deformaciones cada vez más fuertes. Además, en muchos modelos cosmológicos relevantes, como las métricas FRW y Black Holes, se puede demostrar que esto realmente sucede. Pero como se mencionó, el dominio del campo gravitacional define la ubicación de los eventos, por lo que un punto donde la curvatura explota podría no estar ni siquiera en el dominio. Por lo tanto, debemos formalizar lo siguiente: enunciado “El escalar diverge cuando nos acercamos a un punto que ha sido cortado de la variedad”. Si estuviéramos en una variedad de Riemann, entonces la métrica define una función de distancia $$ d (x, y) 🙁 x, y) in cal M times cal M rightarrow inf left int rVert dot gamma rVert right in mathbb R $$ donde el mínimo se toma sobre todas las curvas $ C ^ 1 $ por partes $ gamma $ desde $ x $ hasta $ y $. Además, la función de distancia nos permite definir una topología. Una base de esa topología viene dada por el conjunto $ d (x, y) le r forall x in cal M $. La topología induce naturalmente una noción de convergencia. Decimos que la secuencia $ x_ n $ converge a $ y $ si para $ epsilon> 0 $ hay un $ N in mathbb N $ tal que para cualquier $ n ge N $ $ d (x_ n, y) le epsilon $. Una secuencia que satisface estas condiciones se denomina secuencia de Cauchy. Si cada secuencia de Cauchy converge, decimos que $ cal M $ es métricamente completo. Observe que ahora podemos describir puntos que no están en la variedad como un punto de convergencia de una secuencia de puntos que sí lo están. Entonces, la declaración formal puede expresarse como: “La secuencia $ R (x_ n) $ diverge cuando la secuencia $ x_ n $ converge a $ y $” donde $ R (x_ n) $ es un escalar evaluado en $ x_ n $ en $ cal M $ y $ y $ es algún punto no necesariamente en $ cal M $. En el caso de Riemann, si cada secuencia de Cauchy converge en $ cal M $, entonces cada geodésica puede extenderse indefinidamente. Eso significa que podemos tomar como dominio de cada geodésica $ mathbb R $. En este caso decimos que $ cal M $ es geodésicamente completo. De hecho, también lo contrario es true, es decir, si $ cal M $ es geodésicamente completo, entonces $ cal M $ está métricamente completo.
Hasta ahora, toda la discusión ha sido para las métricas de Riemann, pero tan pronto como pasamos a las métricas de Lorentz, la discusión anterior no puede usarse como se indicó. La razón es que las métricas de Lorentz no definen una función de distancia. No satisfacen la desigualdad del triángulo. Así que solo nos queda la noción de completitud geodésica.
Los tres tipos de vectores disponibles en cualquier métrica de Lorentz definen tres nociones no equivalentes de completitud geodésica dependiendo del carácter del vector tangente de la curva: completitud espacial, null integridad e integridad temporal. Desafortunadamente, no son equivalentes, es posible construir espaciotiempos con las siguientes características:
- Completa en forma de tiempo, en forma de espacio y null incompleto
- como un espacio completo, como en el tiempo y null incompleto
- como un espacio completo, como en el tiempo y null incompleto
- null completo, temporal y espacial incompleto
- temporal y null completo, como un espacio incompleto
- espacial y null completo, incompleto en el tiempo
- completo en forma de tiempo y espacio, null incompleto
Además, en el caso de Riemann, si $ cal M $ es geodésicamente completo, implica que cada curva está completa, lo que significa que cada curva puede extenderse arbitrariamente. Nuevamente, en el caso de Lorentz, ese no es el caso, Geroch construye un ejemplo de una geodésica null, espaciotiempo completo y espaciotemporal con una curva temporal inextensible de longitud finita. Una partícula en caída libre que siga esta trayectoria se acelerará, pero en una cantidad finita de tiempo su ubicación en el espacio-tiempo dejaría de representarse como un punto en la variedad.
Schmidt proporcionó una manera elegante de generalizar la idea de longitud afín a todas las curvas, geodésicas y no geodésicas. Además, la construcción en caso de curvas incompletas permite adjuntar un límite topológico $ parcial cal M $ llamado límite b al espacio-tiempo $ cal M $.
El procedimiento consiste en construir una métrica de Riemann en el paquete de marcos $ cal LM $. Usaremos la forma de soldadura $ theta $ y la forma de conexión $ omega $ asociada a la conexión Levi-Civita $ nabla $ en $ cal M $. Explícitamente,
begin ecuación G_ ab (X_ a, Y_ a) = theta (X_ a) cdot theta (Y_ a) + omega (X_ a) bullet omega (Y_ a) end ecuación
donde $ X_ a, Y_ a en T_ p cal LM $ y $ cdot, bullet $ son el producto interno estándar en $ mathbb R ^ n $ y $ mathfrak g cong mathbb R ^ n ^ 2 $.
Sea $ gamma $ una curva $ C ^ 1 $ a través de $ p $ en $ cal M $ y una base $ E_ a $. Ahora elija un punto $ P $ en $ cal LM $ tal que $ P $ satisfaga $ pi (P) = p $ y la base de $ T_ p $ está dada por $ {E_ a PS Usando la derivada covariante inducida por la métrica podemos propagar en paralelo $ E_ a $ en la dirección de $ dot gamma $. Este procedimiento define una curva $ Upsilon $ en $ cal LM $. Esta curva se llama elevación de la curva $ gamma $. La longitud de $ Upsilon $ con respecto a la métrica de Schmidt, $$ l = int _ tau | dot Upsilon | _ G dt $$ es un parámetro afín generalizado. Si $ gamma $ es un geodésico $ l $ es un parámetro afín. Si cada curva en un espacio-tiempo $ cal M $ que tiene una longitud generalizada afín finita tiene extremos, llamamos al espacio-tiempo b-completo. Si no es $ b $ – completo, llamamos al espacio-tiempo b-incompleto. Ellis y Schmidt hicieron aquí una clasificación de singularidades en términos de la frontera b (véase el capítulo 8, La estructura a gran escala del espacio-tiempo).
En el caso del FRW, el límite b $ partial cal M $ se calculó en este artículo. El resultado es que el límite es un punto. Sin embargo, la topología resultante en $ partial cal M cup cal M $ no es de Hausdorff. Esto significa que la singularidad es, en cierto sentido, arbitraria cercana a cualquier evento en el espacio-tiempo. Esto se consideró poco físico y se hicieron intentos para mejorar la construcción del límite b sin ningún intento de tener una aceptación particular. Además, la alta dimensionalidad de los paquetes involucrados hace que el límite b sea una herramienta de trabajo difícil.
Se pueden adjuntar otros tipos de límites. Por ejemplo:
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límites conformes utilizados en los diagramas de Penrose y en la correspondencia AdS / Cft. En este caso, el límite conforme como se ve aquí en $ t = 0 $ es una variedad tridimensional.
-
Límites causales. Esta construcción depende solo de la estructura causal, por lo que no distingue entre puntos límite a una distancia finita o al infinito. (Ver capítulo 6, La estructura a gran escala del espacio-tiempo)
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Límite abstracto.
No sé si en los dos últimos casos se han realizado cálculos explícitos para el caso de la métrica FRW.
Solo para aclarar: las variedades utilizadas en la relatividad general son en la zona (en el sentido de difeomorfismos) $ mathbb R ^ 3 + 1 $. No son $ mathbb R ^ 3 + 1 $ en general, que es el espacio de Minkowski con curvatura cero.
En este sentido, los puntos en $ t = 0 $ no pertenecen a la variedad, ya que no hay vecindad que sea difeomórfica a $ mathbb R ^ 3 + 1 $ como ya dijo @Ali Moh. Esto significa que solo con la métrica FLRW, no se puede hacer predicciones para el “big bang” (aunque se pueden hacer predicciones alrededor de $ t = 0 + epsilon $ por cada $ epsilon> 0 $).
Supongo que no está hablando de la visión moderna de la historia del universo donde el big bang (recalentamiento) fue precedido por la inflación, y no sabemos qué sucedió antes de la inflación o si incluso hay un comienzo de los tiempos.
Entonces, si solo desea ver la métrica FRW, creo que está comentando que la singularidad no pertenece a la variedad es correcta porque el límite $ t rightarrow 0 $ no está bien definido. Por ejemplo, mirando el volumen $$ lim_ t rightarrow 0 ^ + int d ^ 4 sqrt -g = infty $$ mientras que $$ int d ^ 4 sqrt -g , , Big | _ t = 0 = 0 $$
Por lo tanto, no puede agregar sin problemas el punto de singularidad a la variedad.
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