Solución:
Mi consejo es colocar muchos más puntos de referencia como $ mathbb R ^ n $. Idealmente, cada área debería tener al menos un punto, lo que servirá para demostrar que el área realmente pertenece allí. También aclarará qué significan realmente las relaciones. Por ejemplo, todos los colectores son metrizables, pero no de forma única. Por lo tanto, si desea que los “colectores” se extiendan fuera de los “espacios métricos”, debe agregar un punto de referencia como $ S ^ 1 $ y luego, en una lista de puntos de referencia debajo del diagrama, explique por qué está allí:
$ S ^ 1 $ denota el círculo como un espacio topológico. Es una variedad. No es homeomórfico a ningún espacio vectorial real, ya que es compacto. Es metrizable, como todos los colectores, pero no viene equipado con ninguna métrica en particular.
Hablando de eso, las variedades tienen una dimensión finita, que es una invariante topológica. Entonces, si una variedad real tiene una estructura de espacio vectorial real, entonces es un espacio vectorial de dimensión finita, y eso puede hacer que sea difícil trazar distinciones significativas dentro de todas las pequeñas porciones en la caja de la variedad. Nuevamente, dependiendo de lo que realmente quiera decir, es posible que pueda justificar esas porciones, por lo que no voy a decir que estén equivocadas. Intentar colocar puntos de referencia allí te obligará a decidir qué quieres que signifiquen.
Una vez que haya leído suficientes ejemplos, puede resumir los significados en un prefacio del diagrama:
Este diagrama representa X. Un cuadro se coloca completamente dentro de otro cuadro si Y o (cuando tiene sentido) Z.
El problema con el espacio de Banach del producto interno frente al espacio de Hilbert: cada espacio de producto interno induce una norma y cada norma induce una métrica. Un espacio de Banach es un espacio vectorial normalizado tal que la métrica inducida es completa. Un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno tal que la métrica inducida es completa. Entonces, en su diagrama, los espacios de Hilbert realmente deberían ser la intersección completa. En principio, puede tener un espacio de Banach con algún producto interno incompatible adicional, pero luego tiene un espacio vectorial normalizado con dos normas diferentes, lo que por supuesto es posible, pero en mi humilde opinión no en el espíritu de su diagrama.
Tenga en cuenta que su diagrama se está simplificando (lo cual está bien) en el siguiente sentido: una inclusión a veces significa cosas ligeramente diferentes. Un espacio de Banach es realmente la misma estructura que un espacio vectorial normalizado, solo que tiene una propiedad adicional: que la métrica inducida es completa. Con el mismo espíritu, podría agregar espacios métricos completos en su diagrama. Por otro lado, un espacio métrico es un espacio topológico en el sentido de que la métrica induce canónicamente una topología. Pero formalmente es una estructura diferente. Además, dos espacios métricos diferentes pueden inducir el mismo espacio topológico de esta manera, pero dos espacios de Banach diferentes siempre corresponden a diferentes espacios vectoriales normativos (ya que el correspondiente functor es solo la identidad).
Un espacio de producto interno es formalmente una estructura diferente al espacio vectorial normalizado que induce, pero de hecho el producto interno puede reconstruirse, por lo que puede verse como un espacio vectorial normalizado con una propiedad adicional. También puede considerar la noción de un espacio metrizable. Estructuralmente, es solo un espacio topológico, pero tiene la propiedad de que existe una métrica compatible. Probablemente se puedan comprender mejor las diversas relaciones entre estructuras diferentes utilizando la noción de funtor de la teoría de categorías.
Para más conceptos: cada espacio vectorial es un grupo abeliano, cada grupo abeliano es un grupo. Cada espacio vectorial está sobre algún campo. Cada campo puede verse como un espacio vectorial de dimensión uno sobre sí mismo. Un campo tiene un grupo aditivo, pero también un grupo multiplicativo, por lo que un campo es un grupo de dos formas diferentes. Existe una noción de grupo topológico. De hecho, cualquier estructura algebraica puede estar dotada adicionalmente de una topología compatible, por lo que además de un grupo topológico y un espacio vectorial topológico, puede tener un anillo topológico, un campo topológico o una red topológica.
Te animo a que dibujes estos diagramas y experimentes con varias visualizaciones. Considerar ejemplos representativos particulares, como se mencionó, es una buena idea. Los diagramas como este a menudo se pueden extender de varias maneras, pero se abarrotan fácilmente, así que no se concentre en buscar un diagrama grande que contenga todo lo que sabe. Tener múltiples diagramas pequeños y comprensibles que representen varias piezas / aspectos / relaciones en el mundo matemático será más útil (incluso a menudo ayuda a diseñar mejores diagramas más grandes).
Su perfil dice que es un candidato a doctorado, por lo que tal vez esté interesado en algunos detalles más. ¡También tal vez esta respuesta esté un poco fuera de tema y un poco demasiado publicitaria! Pero encontré las cosas a continuación extremadamente útiles para mi propia comprensión de cómo se pueden estructurar las matemáticas (digitalmente).
Me gustaría ampliar la respuesta del usuario87690. Tienen razón en que su diagrama trata inclusiones obvias, p. Ej. $ hookrightarrow $ NormedVectorSpace, de la misma manera que las “inclusiones” no obvias, por ejemplo, TopologicalSpace $ hookrightarrow $ MetricSpace. Permítanme presentarles el lado teórico de un marco muy general llamado MMT, que es capaz de capturar exactamente todos esos casos de “bla induce blub”. En una frase, se podría decir que MMT es un sistema de módulos escalables para la gestión del conocimiento matemático. El conocimiento está organizado en teorías MMT y morfismos MMT (o morfismos cortos), pero llegaremos a esto. Primero comencemos donde terminó tu publicación.
(Descargo de responsabilidad: he contribuido y escrito sobre MMT en el pasado. Sin embargo, me atrevería a decir que las cosas que, con suerte, aprenderá a continuación se convertirán fácilmente en otros sistemas de gestión del conocimiento matemático. Todos tienen una noción de módulos e interconexión entre módulos).
Inclusiones generalizadas
La generalización de inclusiones son los llamados morfismos MMT escritos como $ rightsquigarrow $, p.ej $$ text TopologicalSpace rightsquigarrow text MetricSpace. $$ Puede leer esto como “cualquier espacio métrico induce un espacio topológico”. Lo mismo ocurre con las inclusiones ordinarias. $ hookrightarrow $, p.ej $$ text VectorSpace hookrightarrow text NormedVectorspace $$ también se puede leer como “todo espacio vectorial normado induce un espacio vectorial”, pero es especial en la medida en que un espacio vectorial normado es el mismo como un espacio vectorial con cosas adicionales: normas y axiomas de normas.
Con esta notación, puedo darte una nueva imagen:
Tenga en cuenta que no hay ninguna flecha $ text BanachSpace $ para $ text InnerProductSpace $ precisamente porque este último no es necesariamente completo. Por lo tanto, un espacio de producto interno incompleto no puede inducir un espacio de Banach, ¡que está completo por definición!
Me gustaría comentar que se pueden componer morfismos MMT. Por ejemplo, podemos obtener un morfismo $ text TopologicalSpace rightsquigarrow text HilbertSpace $ por composición! Se traduciría a su diagrama de la siguiente manera: si un cuadro $ B $ está en una caja $ C $y la caja $ C $ está en una caja $ D $, luego $ B $ también está en $ D $.
¿Cómo se ven los morfismos de MMT?
Hasta que me enteré, solo te dije cómo podíamos hacer uso conveniente de eso. $ rightsquigarrow $ notación sin decirle cómo se define realmente. Para eso, primero tenemos que definir en el medio qué es realmente esta flecha. ¿Cuáles son su dominio y codominio? Son Teorías MMT.
Teorías
Una teoría MMT captura una teoría matemática específica. Más precisamente, puede enumerar sus firmas, axiomas, teoremas y demostraciones. Todas estas nociones están subsumidas por los llamados (mecanografiados) declaraciones. Esencialmente, las teorías no son más que una lista de tales declaraciones. También puede pensar que las declaraciones especifican un idioma en el que hablar.
Permítanme darles un ejemplo. Será un poco más fácil que las teorías matemáticas que tenía en su diagrama. Particularmente, repasemos la siguiente afirmación: $$ text Monoid rightsquigarrow text NaturalNumbers $$
Recuerde, esto significa que “los números naturales forman un monoide”. Supongo que sabes lo que es un monoide: es un conjunto $ U $ equipado con una operación asociativa binaria $ op: U veces U a U $ y un elemento neutro $ e en U $. Acabamos de identificar tres declaraciones que formalizaríamos para la teoría del dominio en MMT. De hecho, la formalización tiene el siguiente aspecto:
theory Monoid =
U: type ❙
e: U ❙
op: U ⟶ U ⟶ U ❙
❚
Saltaré algunos detalles, pero puedes reconocer lo mismo $ U $, $ e $ y $ op $, ¿Derecha? Quizás leer $ U a U a U $ como $ U veces U a U $. Si está interesado, este es el mismo curry. ¡Hasta aquí todo bien! (Con razón, podría comentar que omití los axiomas de asociatividad y neutralidad. De hecho, lo hice. Puede agregarlos de una manera muy similar a través del lenguaje de proposiciones como tipos / correspondencia Curry-Howard).
Continuemos con los números naturales, el codominio de nuestro morfismo. Tienen el siguiente aspecto:
theory NaturalNumbers =
ℕ: type ❙
0: ℕ ❙
successor: ℕ ⟶ ℕ ❙
plus: ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℕ ❙
❚
Tenemos el símbolo actual $ mathbb N $, declarar un símbolo cero $ 0 $, una función sucesora y finalmente una función más.
Morfismos
Recuerde que queríamos hacer una versión formal de nuestra afirmación. $$ text Monoid rightsquigarrow text NaturalNumbers. $$ Ahora finalmente puedo decirles qué son los morfismos MMT. Tal morfismo $ varphi: S rightsquigarrow T $ es una lista de asignaciones: para cada declaración $ s en S $ tenemos que dar una tarea $ varphi (s) $, el cual es un $ T $-expresión. Veamos cómo se ve el morfismo visualizado anteriormente:
view σ : Monoid -> NaturalNumbers =
U = ℕ ❙
e = 0 ❙
op = plus ❙
❚
Puedes reemplazar la palabra view por morphism en tu cabeza. Solo me apego a la sintaxis oficial. ¡Eso es todo! Esto nos dice que natural Los números forman un monoide en el siguiente sentido:
- tomamos su conjunto de universo $ U $ precisamente como $ mathbb N $,
- tomamos el elemento neutro como $ 0 $,
- y tomamos la operación binaria como más.
Morfismos múltiples
Un buen aspecto de nuestra generalización es que también podemos expresar múltiples inducciones. Considera esto:
- los números naturales forman un monoide wrt. $ 0 $ y $ + $
- los números naturales forman un monoide wrt. $ 1 $ y $ cdot $
¡Ya hicimos el primer punto de arriba! ¿Ves cómo haríamos el segundo?
En general, no es suficiente decir que “los números naturales forman un monoide”. Debemos decir cómo. Precisamente dando un mapeo concreto – un morfismo. A menudo omitimos esto si solo hay un morfismo canónico obvio. Para un ejemplo diferente, podría considerar de qué formas un espacio de Hilbert podría inducir un espacio topológico. ¿Has oído hablar de la topología débil? 🙂
Un ejemplo más complejo
Para concluir esta introducción a MMT, proporcionaré un morfismo más complejo, a saber, el $$ text MetricSpace rightsquigarrow text NormedVectorspace. $$ Omitiré el código para las teorías de (co) dominio involucradas por brevedad. Imagínese que el dominio tuviera una declaración $ X: escriba $ por su universo y una declaración $ d: X a X a mathbb R $ por su métrica. De manera similar, imagina que la teoría del codominio tuviera una declaración $ Y: escriba $ para su universo y, entre otros, un $ norma: Y to mathbb R $ función así como una función de resta denotada por $ – $. Entonces, el código de morfismo se vería de la siguiente manera:
view σ : MetricSpace -> NormedVectorspace =
X = Y ❙
d = [y1: Y, y2: Y] norm (y1 - y2) ❙
❚
Puedes leer […] como aglutinantes lambda (escritos). Así que asignamos a $ d $ la función anónima $ Y a Y a mathbb R $ con $ y_1 mapsto left (y_2 mapsto lVert y_1 – y_2 rVert right) $.
A dónde ir desde aquí?
Tener teorías y morfismos formalizados nos permite trabajar con conocimientos matemáticos, especialmente visualizaciones autogeneradoras. Eche un vistazo a la vista de demostración de TGView3D y su artículo arXiv correspondiente.
Si tiene más interés, puede
- navegue por el sitio oficial de MMT: https://uniformal.github.io/,
- recorra el tutorial de MMT: https://gl.mathhub.info/Tutorials/Mathematicians/blob/master/tutorial/mmt-math-tutorial.pdf
Describe de nuevo los conceptos básicos y cómo formalizar las lógicas (lógica de predicados y de primer orden) junto con los modelos. Tanto lo hace con el sistema MMT implementado, - o leer algunos artículos sobre él, por ejemplo, “Teorías de estructuración con morfismos implícitos”
Cita completa: Rabe F., Müller D. (2019) Teorías de estructuración con morfismos implícitos. En: Fiadeiro J., Țuțu I. (eds) Tendencias recientes en técnicas de desarrollo algebraico. WADT 2018. Lecture Notes in Computer Science, vol 11563. Springer, Cham.
Estoy más que feliz de responder preguntas si tiene alguna 🙂
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