Después de indagar en varios repositorios y sitios al concluir hemos dado con la resolución que te enseñaremos a continuación.
Solución:
Porque la función ha cambiado. Hagamos un ejemplo:
$$ int _ – 1 ^ 1 x , dx = 0 $$
porque el integrando es impar y el intervalo es simétrico (también puede verificar directamente).
Hagamos un $ u = x + 1 $ simple para que $ du = dx $, entonces de la manera correcta tenemos:
$$ int_0 ^ 2 u-1 , du = 1 over 2 (u-1) ^ 2 bigg | _0 ^ 2 = 1 over 2 – 1 over 2 = 0 $$
pero si no cambiamos los límites:
$$ int _ – 1 ^ 1 (u-1) , du = 1 over 2 (u-1) ^ 2 bigg | _ – 1 ^ 1 = -2 $$
La razón subyacente es que la integración proviene de sumas de Riemann, los valores de la función dependen del intervalo de integración. Cuando cambias el intervalo, las alturas de los rectángulos que usas en la definición cambian (recuerda que las alturas son los valores de la función) de modo que terminas sumando cosas diferentes si no cambias la función para compensar.
No, no cambiamos los límites. Quien dijo que. Permanecen igual. Solo cambia su representación.
$$ L = int limits ^ x = 4 _ x = 1 sqrt 1 + dfrac 9 4 x dx $$
Ahora sustituimos $ u = 1 + dfrac 9 4 x $:
$$ L = int limits ^ x = 4 _ x = 1 sqrt u dx $$
¿Ver? No cambiamos nada. Solo sustituimos $ u $ por la expresión $ x $ en el integrando. Pero ahora contiene mixed variables y no se pueden resolver como es. Necesitamos sustituir expresiones $ u $ por otras expresiones $ x $ también.
$$ L = int limits ^ x = 4 _ x = 1 sqrt u dx = int limits ^ dfrac 4 9 (u-1) = 4 _ dfrac 4 9 (u-1) = 1 sqrt u d left ( dfrac 4 9 (u-1) right) $$
Ahora, todas las variables están en $ u $ y la integral se puede resolver.
$$ dfrac 4 9 (u-1) = 4 implica u = 10, quad dfrac 4 9 (u-1) = 1 implica dfrac 13 4 \ d left ( dfrac 4 9 (u-1) right) = dfrac 4 9 du $$
Reescribimos la expresión integral:
$$ L = int limits ^ dfrac 4 9 (u-1) = 4 _ dfrac 4 9 (u-1) = 1 sqrt u d left ( dfrac 4 9 (u-1) right) = dfrac 4 9 int limits ^ u = 10 _ u = dfrac 13 4 sqrt u du $$
¿Alguna vez hemos cambiado los límites en algún paso? ¡No! Son exactamente los mismos límites. Solo está representado por $ u $ en lugar de $ x $ en la expresión final.
Por la sustitución $ x = varphi (t) $ tenemos
$$ int_a ^ bf (x) dx = int _ varphi ^ – 1 (a) ^ varphi ^ – 1 (b) f ( varphi (t)) varphi ‘( t) dt $$