Hola, tenemos la respuesta a lo que necesitas, deslízate y la hallarás aquí.
Solución:
Estudié de Cálculo en colectores este año, y en esta sección, encontré que su tratamiento fue un poco descuidado. Primero, hay un gran error en toda la sección de particiones de unidad: en propiedad ($ 4 $) del teorema $ 3 $–$ 11 $, “… fuera de algunos conjunto cerrado contenida en $ U $“, la palabra” cerrado “debe reemplazarse por” compacto “. Por lo tanto, la propiedad (4) se puede reformular de manera equivalente al requerir que el soporte de $ varphi $ ser un subconjunto compacto de $ U $, donde el soporte se define como el cierre topológico del conjunto de puntos donde $ varphi $ no es cero.
begin ecuación text supp ( varphi): = overline x in mathbb R ^ n: varphi (x) neq 0 . end ecuación
A continuación, para definir la integral extendida, creo que esta es una mejor definición (es casi lo mismo, pero hay algunas diferencias sutiles):
Definición / Proposición:
Dejar $ A $ ser un subconjunto abierto de $ mathbb R ^ n $, $ mathcal O $ una cubierta abierta admisible para $ A $, y $ Phi $ ser un $ mathcal C ^ 0 $ partición de unidad para $ A $ subordinado a $ mathcal O $, con soporte compacto. Dejar $ f: A to mathbb R $ ser una función delimitada localmente (cada punto tiene un vecindario en el que $ f $ está acotado) tal que $ mathcal D _f $, el conjunto de discontinuidades de $ f $ tiene medida cero. Entonces, para cada $ varphi in Phi $, las integrales
begin ecuación int _ text supp ( varphi) varphi cdot | f | qquad text y qquad int _ text supp ( varphi) varphi cdot f end ecuación
existen de acuerdo con la antigua definición (la que involucra funciones características). Definimos $ f $ ser integrable en $ A $, en el sentido extendido si
begin ecuación sum _ varphi in Phi int _ text supp ( varphi) varphi cdot | f | end ecuación
converge. En este caso, definimos
begin ecuación ( text extendido) int_ A f = sum _ varphi in Phi int _ text supp ( varphi) varphi cdot f end ecuación
Las dos diferencias son: solo requiero $ Phi $ ser $ mathcal C ^ 0 $, no $ mathcal C ^ infty $, y segundo, pongo $ Displaystyle int _ text supp ( varphi) varphi cdot | f | $ en vez de $ Displaystyle int_ A varphi cdot | f | $. La razón por la que hice el segundo cambio es porque el propósito de esta definición es definir la integración en un conjunto abierto (que puede ser ilimitado), por lo que escribir $ Displaystyle int_ A varphi cdot | f | $ ni siquiera está definido en base a todas las definiciones antiguas. Sin embargo, esto no es un gran problema, porque más adelante podemos demostrar que
begin ecuación ( text extendido) Displaystyle int_ A varphi cdot | f | = ( text antiguo) Displaystyle int _ text supp ( varphi) varphi cdot | f | end ecuación
Pero, desde un punto de vista lógico, no deberíamos usar el símbolo $ estilo de visualización int_A varphi cdot f $ en una definición en la que estamos tratando de definir el significado de integración en $ A $
(tenga en cuenta que tenemos que usar otra partición de unidad $ Psi $ para dar sentido al LHS anterior).
Prueba $ Displaystyle int _ text supp ( varphi) varphi cdot f $ existe de acuerdo con la antigua definición:
Para probar esto, tenemos que demostrar que $ varphi f $ está delimitado por un rectángulo $ R $ que contiene supl$ ( varphi) $, y eso $ varphi f cdot chi _ text supp ( varphi) $ es integrable en $ R $. Para probar la delimitación, tenga en cuenta que para cada $ x in text supp ( varphi) $, ya que $ f $ está delimitado localmente, hay un vecindario abierto $ V_x $ de $ x $y un numero $ M_x> 0 $ tal que $ | f | leq M_x $ sobre $ V_x $. La colección de todos esos $ V_x $ forma una cubierta abierta de $ text suplir ( varphi) $, por lo tanto, por compacidad, hay una subcubierta finita, digamos por $ V_ x_1, puntos, V_ x_k $. Luego $ f $ está delimitado por $ M = max M_ x_i _ i = 1 ^ k $ en sup$ varphi $). Ya que $ varphi = 0 $ fuera de $ text suplir ( varphi) $, resulta que $ varphi cdot f $ está limitado por todas partes (por $ M $).
A continuación, deja $ R $ ser un rectángulo cerrado que contenga $ text suplir ( varphi) $. Es fácil verificar que
begin align varphi f cdot chi _ text supp ( varphi) = varphi f tag * end align
(porque fuera del soporte, ambos lados están $ 0 $). Además, desde $ f $ tiene un conjunto de discontinuidad de medida cero, y dado que $ varphi $ es continuo, se sigue que $ varphi f cdot chi _ text supp ( varphi) = varphi f $ también tiene un conjunto de discontinuidad de medida cero; por eso $ varphi f cdot chi _ text supp ( varphi) $ es integrable en $ R $ según la primera definición. Esto demuestra $ Displaystyle int _ text supp ( varphi) varphi cdot f $
existe según la antigua definición. Por reemplazo $ f $ con $ | f | $ en todas partes, puedes ver eso $ Displaystyle int _ text supp ( varphi) varphi cdot | f | $ también existe según la antigua definición.
Observaciones:
- Note que debido a no importa si el límite de $ text suplir ( varphi) $ tiene medida cero. $ varphi cdot f $ es integrable en $ text suplir ( varphi) $
- de todas formas. Tenga en cuenta que, por definición, $ text suplir ( varphi) $
- es el cierre de un conjunto y por tanto cerrado. Pero esto no es lo suficientemente bueno, necesitamos que sea compacto para que el argumento de delimitación anterior funcione. Si $ V subconjunto A $ es un encerrado conjunto abierto que contiene$ text suplir ( varphi) $ , luego $ estilo de visualización int_V varphi cdot f $ existe según la antigua definición; esto debería ser inmediato ya que $ Displaystyle int _ text supp ( varphi) varphi cdot f $
ya se ha demostrado que existe. En este caso,
begin ecuación int_V varphi cdot f = int _ text supp ( varphi) varphi cdot f end ecuación
Spivak a menudo omite muchos pasos y tienes que leer cuidadosamente cada oración que conduce a un teorema. La discusión de la definición y convergencia de la integral extendida $ sum _ phi in Phi int_A phi cdot f $ utiliza el hecho de que la integral $ int_A phi cdot f $
existe. Esto, a su vez, se basa en los supuestos establecidos en la primera oración de la página 65: Una tapa abierta $ mathcal O $ de un set abierto $ A subconjunto mathbb R ^ n $ es admisible si cada $ U in mathcal O $ está contenido en$ A $
. Tenga en cuenta que $ A $ se supone que es abierto y $ mathcal O $ se supone que esadmisible , significa que $ A $ está cubierto por abiertosubconjuntos$ U subconjunto A $
.
Spivak continúa diciendo: Si $ Phi $ está subordinado a$ mathcal O $ , $ f: A to mathbb R $ está delimitado en un conjunto abierto alrededor de cada punto de$ A $ , y $ x: f text es discontinuo en x $ tiene medida$ 0 $ , luego $ int_A phi cdot | f | $
existe. Implícita en esta declaración es la existencia de $ int_A phi cdot f $ lo que implica la existencia de$ int_A phi cdot | f | $
. Dado que $ A $ está abierto y $ mathcal O $ es admisible, podemos proceder a probar la existencia de la integral. Ya que $ Phi $ está subordinado a$ mathcal O $ , para cada $ phi in Phi $ hay un conjunto abierto $ U in mathcal O $ y algún set cerrado $ F $ tal que $ F subconjunto U subconjunto A $ y $ phi = 0 $ fuera de$ F $
. Por eso, $ phi , $ desaparece en $ A setminus U, $ y $ int_ A setminus U phi cdot f $ existe independientemente de la medida del límite de A. También $ phi cdot f $ desaparece en el límite de $ U $ y es continuo en casi todas partes en $ U $ (ya que $ phi en C ^ infty $ con soporte compacto en$ U $ ). Por lo tanto, $ int_U phi cdot f $ existe y, independientemente de la mensurabilidad de Jordan$ A $
, resulta que
$$ int_A phi cdot f = int_U phi cdot f + int_ A setminus U phi cdot f $$
Spivak luego define $ f $ ser integrable en sentido extendido si $ sum _ phi in Phi int_A phi cdot | f | $ (con $ phi $ dispuestas en una secuencia) converge. Ya que $ left | int_A phi cdot f right | leqslant int_A phi cdot | f | $, las series $ sum _ phi in Phi int_A phi cdot f $ es absolutamente convergente.
$$$$
Aquí tienes las comentarios y calificaciones
Si estás de acuerdo, tienes la habilidad dejar un ensayo acerca de qué te ha gustado de este escrito.