Después de buscar en diferentes repositorios y páginas webs al concluir nos encontramos con la solución que te mostramos a continuación.
Solución:
TL; DR La parte imaginaria de la impedancia le dice el componente reactivo de la impedancia; esto es responsable (entre otros) de la diferencia de fase entre la corriente y el voltaje y la potencia reactiva utilizada por el circuito.
El principio subyacente es que cualquier señal periódica puede tratarse como la suma de (a veces) ondas sinusoidales infinitas llamadas armónicos, con frecuencias igualmente espaciadas. Cada uno de ellos puede tratarse por separado, como una señal propia.
Para estas señales, usa una representación que es como: $$ v (t) = V_ 0 cos (2 pi ft + phi) = Re V_ 0 e ^ j 2 pi ft + phi $$
Y puede ver que ya saltamos al dominio de los números complejos, porque puede usar un exponencial complejo para representar la rotación.
Entonces, la impedancia puede ser activa (resistencia) o reactiva (reactancia); mientras que el primero por definición no afecta la fase de las señales ( $ phi $) la reactancia sí, por lo que usando números complejos es posible evaluar la variación en la fase que es introducida por la reactancia.
Entonces obtienes: $$ V = I cdot Z = I cdot | Z | cdot e ^ j theta $$
donde | Z | es la magnitud de la impedancia, dada por: $$ | Z | = sqrt R ^ 2 + X ^ 2 $$
y theta es la fase introducida por la impedancia, y está dada por: $$ theta = arctan left ( frac X R right) $$
Cuando se aplica a la función anterior, se convierte en: $$ v (t) = Re e ^ j 2 pi ft + phi + theta = I_ 0 | Z | cos (2 pi ft + phi + theta) $$
Consideremos el capacitor ideal: su impedancia será $ frac 1 j omega C = – frac j omega C $ que es imaginaria y negativa; si lo pones en la circunferencia trigonométrica, obtienes una fase de -90 °, lo que significa que con una carga puramente capacitiva el voltaje estará 90 ° por detrás de la corriente.
¿Entonces por qué?
Digamos que desea sumar dos impedancias, 100 Ohm y 50 + i50 Ohm (o, sin números complejos, $ 70.7 angle 45 ^ circ $). Luego, con números complejos, sumas la parte real e imaginaria y obtienes 150 + i50 Ohm.
Sin usar números complejos, la cosa es bastante más complicada, ya que puedes usar cosenos y senos (pero es lo mismo que usar números complejos entonces) o meterte en un lío de magnitudes y fases. Tu decides :).
Teoría
Algunas nociones adicionales, tratando de responder a sus preguntas:
- La representación de armónicos de las señales generalmente se aborda mediante la descomposición en serie de Fourier:
$$ v (t) = sum _ – infty ^ + infty c_ n e ^ jnt, text donde c_ n = frac 1 2 pi int _ – pi ^ pi v (t) e ^ – jnt , dt $$
- El exponencial complejo está relacionado con el coseno también por la fórmula de Euler:
$$ cos (x) = frac e ^ ix + e ^ – ix 2 $$
Estoy seguro de que esto no responderá por completo a su pregunta, de hecho espero que esto complemente las respuestas ya dadas que parecen descuidar: el concepto detrás del uso de números complejos (que, como ya se dijo, es solo un nombre elegante para un tipo de “cantidad” matemática, por así decirlo).
La primera pregunta principal que debemos responder aquí es por qué los números complejos. Y para responder a esta pregunta, debemos comprender la necesidad de los diferentes conjuntos de números, desde los números naturales hasta los reales.
Desde edades tempranas, los números naturales permitieron a las personas contar, por ejemplo, manzanas y naranjas en un mercado. Luego se introdujeron los números enteros para abordar el concepto “endeudado” mediante números negativos (este era un concepto difícil de entender en ese momento). Ahora, las cosas se ponen más interesantes con los números racionales y la necesidad de representar “cantidades” con fracciones. Lo interesante de estos números es que necesitamos dos enteros, y no solo uno (como con los números naturales y enteros), por ejemplo 3/8. Esta forma de representar “cantidades” es muy útil, por ejemplo para describir el número de rebanadas (3) que quedan en una tarta de 8 rebanadas, cuando ya se comieron 5 🙂 (¡no podrías hacer esto con un número entero!).
Ahora, saltemos los números irracionales y reales y vayamos a los números complejos. Los ingenieros electrónicos enfrentaron el desafío de describir y operar un tipo diferente de “cantidad”, el voltaje (y corriente) sinusoidal en un circuito lineal (es decir, hecho de resistencias, capacitores e inductores). Adivina qué, encontraron que los números complejos eran la solución.
Los ingenieros sabían que las sinusoides estaban representadas por 3 componentes, es decir, A (amplitud), $ omega $ (frecuencia angular) y fase ( $ phi $): $$ y (t) = A cdot pecado ( omega t + phi) $$
También se dieron cuenta de que en un circuito lineal la frecuencia angular ( $ omega $) no cambiaría de un nodo a otro, es decir, sin importar en qué punto del circuito estuvieras probando, solo verías diferencias en términos de amplitud. y fase, no frecuencia. Luego concluyeron que la parte interesante (variable) de un voltaje (o corriente) sinusoidal era su amplitud y fase. Entonces, al igual que hacemos con los números racionales, necesitamos dos números para representar el voltaje sinusoidal variable en un nodo de circuito lineal, en este caso (A, phi). De hecho, se dieron cuenta de que el álgebra de números complejos, es decir, la forma en que operas y relacionas estos números entre sí encaja como un guante con la forma en que las sinusoides son operadas por circuitos lineales.
Entonces, cuando dices que la impedancia de un capacitor es $ frac 1 j omega C $ es decir, (A = 1 / C, phi = -90º) en la notación adoptada anteriormente, en realidad estás diciendo que la tensión se retrasa 90º respecto a la fase actual. Y, por favor, olvídate de esa nomenclatura “trascendental” sobre imaginario y complejo … de hecho estamos hablando de “cantidades” con dos componentes ortogonales (es decir, “que no entienden mixed no importa cuánto los agites en una copa de cóctel “), al igual que los vectores, que representan dos aspectos físicos diferentes de los fenómenos.
ACTUALIZAR
También hay algunas notas que recomiendo encarecidamente leer, “Introducción al análisis complejo para ingenieros” de Michael D. Alder. Este es un enfoque muy amigable del tema. En particular, recomiendo el primer capítulo.
El uso de números complejos es una forma matemática de representar componentes en fase y fuera de fase: la corriente con respecto al voltaje. La impedancia imaginaria no significa que la impedancia no existe, significa que la corriente y el voltaje están desfasados entre sí. De manera similar, una impedancia real no significa real en el sentido cotidiano, solo que la corriente está en fase con el voltaje.
Si posees alguna desconfianza y capacidad de modernizar nuestro crónica puedes dejar una interpretación y con placer lo estudiaremos.