Posterior a de nuestra extensa selección de datos resolvimos este rompecabezas que pueden tener algunos lectores. Te brindamos la solución y nuestro deseo es resultarte de gran apoyo.
Solución:
Para empezar, los números de Betti no son la homología. El número de Betti es lo que hace el “conteo” de los ciclos que mencionas, pero hay más en la historia. El teorema de clasificación para grupos abelianos generados finitamente dice que puede expresar cualquier grupo como una suma directa (equivalentemente, un producto) de copias de $mathbbZ$ y de $mathbbZ_n$ para algunos valores de $n$. El número Betti es el número de copias de $mathbbZ$ obtiene, es decir, el subgrupo libre más grande posible (el resto se llama torsión del grupo). Si ya ha hecho la homología con coeficientes, una buena manera de obtener esto es tomando coeficientes en $mathbbQ$que aniquila todos los elementos de orden finito y te deja con una $mathbbQ$-espacio vectorial cuya dimensión es el número de Betti.
Pero volvamos a la historia principal. En lugar de encontrar los números de torsión y Betti individualmente, especialmente para los complejos simpliciales, me resulta más fácil calcular la homología a través de $H_n=textker(d_n)/textim(d_n+1)$. Usemos la siguiente imagen:
tenemos un solo $0$-simplex, que llamaré $v$; Tres $1$-simples, de los cuales el horizontal será $a$el vertical $b$y la diagonal $c$; y dos $2$-simples, de los cuales el superior es $U$ y el inferior $L$. Estoy orientando los bordes en la dirección de sus flechas; las caras están orientadas de modo que sus límites estén en la dirección de dos aristas, en lugar de una.
Para $H_1$quiere que el $1$-ciclos mod aquellos que limitan un $2$-célula. Como cada arista es un ciclo, el grupo de $1$-ciclos es el grupo abeliano libre en $a,b,c$. el límite de $U$ es $a+bc$ y el de $L$ es $c+ab$. Así que estamos mirando $langle a,b,crangle/langle a+bc,a-b+crangle$. Simplifiquemos esto a $langle a+bc,b,crangle/langle a+bc,2b-2crangle=langle b,crangle/langle 2b-2crangle$… y de nuevo a $langle bc,crangle/langle 2b-2crangle$. Ajuste $d=bc$esto es simplemente $langle drangle/langle 2drangleopluslangle crangle$cual es $mathbbZoplusmathbbZ_2$.
Si está familiarizado con la teoría del grupo fundamental, hay un teorema genial que dice que $H_1(X)$ es la abelianización de $pi_1(X,x_0)$ para camino conectado $X$. Esta es otra buena manera de visualizar la torsión en este caso específico. No sé sobre la botella de Klein, pero $matemáticasRP^2$ tiene un elemento de orden $2$ en su grupo fundamental dado por (visualizándolo como un disco con su límite cociente por el mapa antípoda) un camino desde un punto en el límite hasta el punto “opuesto” en el límite. En el caso de $H_1$puedes imaginar la torsión como la “versión de homología” de este fenómeno.
Piense en la botella como dos tiras de Möbius pegadas a lo largo de sus bordes. Un bucle cerrado que rodea una de las bandas (a lo largo de su centro, digamos) no es un límite, pero si lo sigue dos veces se convierte en uno: puede pensar en él como un bucle que sigue precisamente el borde de una de las bandas originales. , por lo que es solo el límite de esa banda. Esto le da la pieza de “torsión” de la homología, y le muestra que la homología es un invariante un poco más refinado que simplemente contar el número de bucles “vacíos” cerrados.
EDITAR: tal vez valga la pena señalar que el término “torsión” de la teoría del grupo, que corresponde a elementos de orden finito, se deriva precisamente de esta imagen geométrica: el elemento de torsión resulta del “giro” en la banda.
Si tienes algún titubeo o capacidad de afinar nuestro crónica eres capaz de escribir un exégesis y con placer lo ojearemos.