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Solución:
Según Ref. 1, vea la primera captura de pantalla a continuación, Newton ya tenía una diferenciación parcial en su Método de fluxiones (1671). (Si también introdujo o no ecuaciones diferenciales parciales es un tema de debate).
Según Ref. 2, véase la segunda captura de pantalla, la noción de factor integrante se remonta a Euler (1728), seguida una década más tarde por el tratamiento más sistemático de Clairaut de las diferenciales totales.
- Florian Cajori, La historia temprana de las ecuaciones diferenciales parciales y de la diferenciación e integración parciales
- C. Edward Sandifer, Las primeras matemáticas de Leonhard Euler
de ref. 1, página 463:
de ref. 2, página 22:
Las funciones de varias variables en el sentido moderno nunca se consideraron sistemáticamente en el siglo XVII. En cambio, la idea de diferenciación parcial surgió en relación con las familias de curvas, a través de la idea de diferenciar con respecto al parámetro (como se hace, por ejemplo, cuando se encuentra la envolvente de una familia de curvas). Para una sinopsis de cómo surgió esta idea en la correspondencia de 1697 entre Leibniz y Johann Bernoulli, véase mi reseña de Engelsman’s Familias de Curvas y los Orígenes de la Diferenciación Parcial (1984), un excelente estudio. Newton nunca discutió las derivadas parciales de manera sistemática.
A las referencias de Carlo Beenakker sobre diferenciales totales (que fue primero), se podría agregar una palabra sobre Alexis Fontaine, inventor de la notación (¿noción?) de derivada parcial:
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Fontaine, Alexis Le calcul integral. Première méthode (19 de noviembre de 1738), en Mémoires donnés à l’Académie royale des sciences, non imprimés dans leur temps. Imprimerie Royale, París, 1764. Página 25:
Dejar $mu$ ser una función de varias cantidades $p, x, y, z,$ &C. Para denotar el coeficiente de $dx$ en la diferencia de $mu$Escribiré $fracdmudx$; para denotar que de $dy$Escribiré $fracdmudy$, &C. Por la misma razón (…) escribiré $fracddmudxdy$ o $fracddmudydx$; porque, como pronto demostraremos, estas dos expresiones son una y la misma cosa
NB: Aunque no se publicó hasta 1764, las memorias de Fontaine se discutieron en la correspondencia de Euler con Clairaut (17 de septiembre, 19 de octubre, 26 de diciembre de 1740) y D. Bernoulli (7 de marzo y 16 de mayo de 1739).
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Euler, Leonhard Principia motus fluidorum (31 de agosto de 1752). Novi Com. Academia ciencia Petrop. 6 (1761) 271-311. Página 276:
Este sistema de notación fue utilizado por primera vez por el ilustre fontaine; como simplifica apreciablemente el cálculo, también lo adoptaré aquí.
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Kline, Morris Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta la actualidad. Oxford University Press, 1972. Página 425:
fue Alexis Fontaine des Bertins (1705-71), Euler, Clairaut y d’Alembert quienes crearon la teoría de las derivadas parciales.
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Greenberg, el “método fluxio-diferencial” de John L. Alexis Fontaine y los orígenes del cálculo de varias variables. Ann. of Sci. 38 (1981), no. 3, 251–290. Página 253:
En los años 1738-1741 Fontaine produjo una exposición del cálculo de varias variables que reconocemos haber sido notablemente general para esos años. (…) Fontaine prologó su exposición con cuatro resultados elementales pero fundamentales en el cálculo de varias variables:
$$ fracddxint F,dy=intfracdFdxdy $$
(la llamada ‘diferenciación bajo el signo integral’ leibniziana);
$$ fracd^2Fdxdy=fracd^2Fdydx $$
(la igualdad de mixed coeficientes diferenciales parciales de segundo orden);
$$ nF=fracdFdxx+fracdFdyy+fracdFdzz+puntos $$
si $F=F(x,y,z,puntos)$ es una expresión homogénea de grado $n$ en un número finito de variables $x, y, z, puntos$; y
$$ alphafracdpidx-pifracdalphadx+fracdalphadp-fracdpidy= 0, $$
que es la ‘ecuación de condición’ para la integrabilidad de un diferencial total $dx+alpha dy+pi dp$ en tres variables $x,y$ y $p$.[Note: A few pages later Fontaine writes the general case just as we now would: the differential $Ldp+Mdx+Ndy$ becomes total when multiplied by an integrating factor only if
$$
LBigl(fracdMdy-fracdNdxBigr)+
MBigl(fracdNdp-fracdLdyBigr)+
NBigl(fracdLdx-fracdMdpBigr)=0.]$$
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Greenberg, la integración de John L. Alexis Fontaine de ecuaciones diferenciales ordinarias y los orígenes del cálculo de varias variables. Ana. de ciencia 39 (1982), núm. 1, 1–36. Página 10:
Fontaine fue uno de los pioneros en el uso de (…) diferenciales totales, mientras que la introducción de notaciones de símbolos completos $fracdFdx, fracdFdy, fracd^2Fdx^2, fracd^2Fdxdy, fracd^3F dy^3,puntos$ para coeficientes diferenciales (…) fue su innovación. Como medio para definir coeficientes diferenciales parciales, el diferencial total fue el primer desarrollo en un cálculo reconocible de varias variables.
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Greenberg, John L. Los orígenes de la diferenciación parcial. Ana. de ciencia 42 (1985), núm. 4, 421-429. Página 428:
Euler no inventó la notación de ‘símbolo completo’
$$ left(fracdydxright) $$
para coeficientes diferenciales parciales. La notación apareció impresa por primera vez en la Academia de Ciencias de París publicada por Clairaut. memorias para 1739 y 1740 sobre los problemas planteados por Fontaine. En 1752, Euler sabía que Fontaine había introducido por primera vez la notación.
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