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¿Hay una medida cero establecida que no sea escasa?

Te damos la contestación a esta problema, o por lo menos eso deseamos. Si tienes interrogantes puedes dejarlo en el apartado de preguntas, que con placer te responderemos

Solución:

Sea $p_i$ una lista de números racionales. Sea $U_i,n$ un intervalo abierto centrado en $p_i$ de longitud $2^-i/n$. Entonces $V_n=cup_i U_i,n$ es una tapa abierta de los racionales, de medida a lo sumo $sum_i 2^-i/n=2/n$. Entonces $cap_n V_n$ es un conjunto igual de escaso de medida cero.

Así que sí, hay un conjunto de ceros de medida que no es escaso, y no, no todos los conjuntos de ceros de medida son escasos.

La teoría de la computabilidad ofrece una manera clara de ver esto. Hay un cierto tipo de número real que se llama 1-genérico y hay otro tipo que se llama 1-aleatorio o "Martin-Löf al azar". Estos dos conjuntos son disjuntos. El conjunto de 1-reales genéricos es co-escaso y tiene medida cero, mientras que el conjunto de 1-reales aleatorios es escaso y tiene medida plena.

Por lo tanto, la medida y la categoría son bastante ortogonales. Los teóricos de conjuntos dirían que corresponden a dos nociones diferentes de forzamiento.

Una buena referencia general para este tipo de preguntas es el libro clásico de Oxtoby Medida y categoría.

Aunque ya se han dado muchos ejemplos, permítanme agregar mi favorito: considere el conjunto de esos números en [0,1] cuya expansión binaria es no "medio ceros y medio unos", es decir, aquellos para los cuales el número de unos en los primeros $n$ lugares binarios no es asintótico a $n/2$. La ley fuerte de los grandes números implica que este conjunto tiene medida cero. Sin embargo, no es escaso; de hecho, su complemento es escaso. Más dramáticamente: el conjunto de $xin[0,1]$ cuya expansión binaria tiene, para infinitos $n$, nada más que ceros desde el $n$-ésimo al $n!$-ésimo lugar binario es un conjunto $G_delta$ denso, por lo tanto, comeager.

Sobre la relación entre null conjuntos y conjuntos exiguos, también puede consultar este artículo. Dos teoremas mencionados en esta nota (ambos clásicos y no debidos al autor):

  1. (Como ya se mencionó anteriormente) Existe un escaso $F_sigma$ subconjunto $A$ y un null $G_delta$ subconjunto $B$ de $matemáticas R$ que satisfacen $Acap B=emptyset$ y $Ataza B=mathbb R$.

  2. (El teorema de la dualidad de Erdős-Sierpiński) Suponga que se cumple la hipótesis del continuo. Entonces existe una involución (biyección de orden dos) $f:mathbb Ramathbb R$ tal que $f[A]ps
    es pobre si y solo si $A$ es nully $f[A]ps es null si y solo si $A$ es escaso para cada subconjunto $A$ de $matemáticas R$.

Mientras que (1) dice que los ideales de null, respectivamente, los conjuntos exiguos son "ortogonales", (2) dice que asumiendo CH se comportan de manera idéntica. Pero es bien sabido que esta dualidad entre medida y categoría falla dramáticamente una vez que adoptamos un punto de vista más abstracto: Shelah demostró que se necesitan cardinales grandes para construir un modelo de teoría de conjuntos (ZF, sin axioma de elección) donde cada conjunto de reales es medible según Lebesgue, pero no se necesitan cardinales grandes para construir un modelo en el que cada conjunto de reales tenga la propiedad de Baire (la noción correspondiente a la medibilidad por categoría).

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