Solución:
Un número real es irracional si y solo si no es racional. Por definición, cualquier número real es racional o irracional.
Supongo que el creador de esta imagen eligió esta representación para mostrar que los números racionales e irracionales son parte del conjunto más grande de números reales. El área azul oscuro es en realidad el conjunto vacío.
Esta es mi opinión sobre una mejor representación:
Siéntase libre de editar y mejorar esta representación a su gusto. He cargado el código fuente SVG en pastebin.
No. La definición de un número irracional es un número que no es un número racional, es decir, no es la razón entre dos números enteros.
Si un número real no es racional, entonces, por definición, es irracional.
Sin embargo, si piensas en algebraico números, que son números racionales y números irracionales que se pueden expresar como raíces de polinomios con coeficientes enteros (como $ sqrt2 $ o $ sqrt[4]{12} – frac1 { sqrt3} $), entonces hay números irracionales que no son algebraicos. Estos se llaman números trascendentales.
Por supuesto, la respuesta “tradicional” es no, no hay números reales que no sean racionales ni irracionales. Sin embargo, siendo lo contrario que soy, permítanme ofrecer una interpretación alternativa que dé una respuesta diferente.
¿Qué pasa si estás usando lógica intuicionista? – PyRulez
En la lógica intuicionista, donde se rechaza la ley del medio excluido (LEM) $ P vee lnot P $, las cosas se vuelven un poco más complicadas. Sea $ x in Bbb Q $ significa que hay dos enteros $ p, q $ con $ x = p / q $. Entonces, la interpretación tradicional de “$ x $ es irracional” es $ lnot (x in Bbb Q) $, pero vamos a llamar a esto “$ x $ no es racional” en su lugar. La declaración “$ x $ no es racional”, que es $ lnot lnot (x in Bbb Q) $, está implícita en $ x in Bbb Q $ pero no es equivalente a ella.
Considere la ecuación $ 0 <| xp / q |
Por lo tanto, existe una brecha medible entre las medidas de irracionalidad de los números racionales e irracionales, y esto produce una definición “constructiva” alternativa de irracional: sea $ x en Bbb I $, lea “$ x $ es irracional”, si $ | xp / q |
Este enfoque también es similar al método de fracción continua: los números irracionales tienen representaciones de fracciones continuas simples infinitas, mientras que los números racionales tienen representaciones finitas, por lo que, dada una representación de fracción continua infinita, automáticamente se sabe que el límite no puede ser racional.
La mala noticia es que debido a que la lógica intuicionista o constructiva es estrictamente más débil que la lógica clásica, no prueba nada que la lógica clásica no pueda probar. Dado que la lógica clásica prueba que todo número es racional o irracional, no prueba que haya un número no racional no irracional (asumiendo consistencia), por lo que la lógica intuicionista tampoco puede probar la existencia de un número no racional no irracional. Simplemente no puede probar que esto es imposible (es podría sea cierto, por algún sentido de “poder”). Por otro lado, debería haber un modelo de los reales con lógica constructiva + $ lno $ LEM, de modo que haya un número no racional no irracional, e invito a cualquier analista constructivo a proporcionar tales ejemplos en los comentarios.