Nuestros investigadores estrellas han agotado sus provisiones de café, en su búsqueda día y noche por la respuesta, hasta que Mateo encontró la solución en Gogs por lo tanto en este momento la compartimos con nosotros.
Solución:
Es fácil encontrar una función que sea continua pero no diferenciable en un solo punto, por ejemplo, f (x) = | x | es continuo pero no diferenciable en 0.
Además, hay funciones que son continuas pero no diferenciables en ninguna parte, como la función Weierstrass.
Por otro lado, la continuidad se deriva de la diferenciabilidad, por lo que no hay funciones diferenciables que no sean también continuas. Si una función es diferenciable en $ x $, entonces el limite $ (f (x + h) -f (x)) / h $ debe existir (y ser finito) como $ h $ tiende a 0, lo que significa $ f (x + h) $ debe tender a $ f (x) $ como $ h $ tiende a 0, lo que significa $ f $ es continuo en $ x $.
En realidad, en cierto sentido, casi todas las funciones continuas no son diferenciables en ninguna parte: http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function#Density_of_nowhere-differentiable_functions
Una clase natural de ejemplos serían las trayectorias del movimiento browniano. Estos son continuos pero no diferenciables en todas partes.
También te pueden interesar las curvas fractales como la función Takagi, que también es continua pero no diferenciable en ninguna parte. (Creo que Wikipedia la llama la “curva de Blancmange”.) Me gusta más esta función que la de Weierstrass, pero es una preferencia personal.
Movimiento browniano
Función Takagi