Luego de investigar con expertos en esta materia, programadores de diversas áreas y profesores hemos dado con la solución al dilema y la plasmamos en esta publicación.
Solución:
Sea $vecv=xveci+yvecj+zveck$, un vector perpendicular al tuyo. Su producto interno (el producto escalar – $vecu.vecv$ ) debe ser igual a 0, por lo tanto: $$8x+4y-6z=0 tag1$$ Elija por ejemplo x ,y y encuentre z de la ecuación 1. Para que su longitud sea igual a 1, calcule $|vecv|=sqrtx^2+y^2+z^2$ y divida $ vecv$ con él. Tu vector unitario sería: $$vecu=fracvecv$$
Cada respuesta aquí da la ecuación $8a+4b-6c=0$. Ninguno menciona que esta ecuación representa un plano perpendicular al vector dado. Estoy seguro de que la omisión fue un descuido de cada uno de los encuestados. Pero merece mención y énfasis. En el plano perpendicular a cualquier vector, el conjunto de vectores de longitud unitaria forma un círculo. Así que las respuestas variarán. Los vectores $(-1,2,0)^t$ y $(2,0,3)^t$ se pueden elegir como base para el espacio de solución del plano: resolver para a, dividir por 8 y Sean $2b$ y $3c$ variables independientes. Puedes dividir cada uno por su longitud $sqrt5$ y $sqrt13$ respectivamente, y tomar una combinación trigonométrica de ellos para obtener una solución general.
¡Felicidades por las más de 10’000 visitas! Me gustaría combinar las excelentes respuestas anteriores en un algoritmo.
Dado un vector $vec x$ que no es exactamente igual a cero, una forma de encontrar $vec y$ tal que $vec x^T vec y = 0$ es:
- comienza con $vec y’ = vec 0$ (todo ceros);
- encuentre $m$ tal que $x_m neq 0$, y elija cualquier otro índice $n neq m$;
- establecer $y’_n = x_m$ y $y’_m = -x_n$, configurando potencialmente dos elementos de $vec y’$ distintos de cero (tal vez uno si $x_n=0$, no importa);
- y finalmente normalice su vector a la unidad de longitud: $vec y = fracvec y’vec y’.$
(Me refiero al elemento $n$ésimo de un vector $vec v$ como $v_n$.)
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