Ya no necesitas buscar más en otras webs porque estás al sitio indicado, tenemos la respuesta que buscas sin problemas.
Solución:
Considere el grupo simétrico $S$ en símbolos $n$ en su acción en los subconjuntos $k$ de $1,ldots,n$. Si $kne2,4$ y $n=2k+1$, entonces los únicos subgrupos transitivos de $S$ son el propio $S$ y el grupo alterno. Por lo tanto, en este caso, el grupo alternante actúa transitivamente pero todos sus subgrupos propios son intransitivos. Consulte mi “Teoría de gráficos más impares”, Matemáticas discretas. 32 (1980) 205-207. La idea básica es que un grupo que es transitivo en $k$-subconjuntos debe ser $(k-1)$-transitivo y en la mayoría de los casos esto deja solo los grupos simétricos y alternos.
Como Geoff Robinson ya ha escrito en su comentario, estás pidiendo
mínimamente transitivo grupos de permutación. Específicamente, pregunta si hay alguna clase de tales grupos además de los grupos de permutación regulares. La respuesta a esto es clara sí. — Por ejemplo, hay hasta conjugación solo $51$ grupos de permutaciones regulares de grado $32$, pero hay un total de $11605$ clases de conjugación de grupos de permutaciones mínimamente transitivas de grado $32$. Consulte la página 3 del artículo. Los Grupos de Permutación Transitiva de Grado 32 por Cannon y Holt que informa sobre la determinación de todas las clases de conjugación $2801324$ de los grupos de permutaciones transitivas de grado $32$.
Cada vez que uno tiene un gráfico de vértice transitivo que no es un gráfico de Cayley, uno tiene un ejemplo de tal grupo (tal vez más de uno). Por ejemplo, tanto $A_5$ como $5:4$ actúan de forma transitiva en el vértice en el gráfico de Petersen y son subgrupos transitivos mínimos de $S_10$. Véase, por ejemplo, el artículo de BDMcKay y CEPraeger.