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Solución:
Cualquier grupo infinito $G$ debe tener infinitos subgrupos abelianos. Tenga en cuenta que para cada $x in G$, hay un subgrupo cíclico $langle x rangle$, que es abeliano. Si hay un $x$ tal que $langle x rangle$ es infinito, entonces $langle x rangle$ tiene infinitos subgrupos abelianos. Si no existe tal $x$, debe haber infinitos subgrupos cíclicos finitos distintos $langle x rangle$, ya que de lo contrario $G$ sería la unión finita de conjuntos finitos.
Tome el producto $G = S_3 times Bbb Z$, que no es abeliano ya que tiene un subgrupo no abeliano, a saber, $S_3$.
Sin embargo, $1 times nBbb Z$ son subgrupos abelianos de $G$ para todo $n geq 0$.
Considere los subgrupos de $mathrmSO(3)$ (visualizados como las simetrías rotacionales de la esfera $2$) que representan rotaciones alrededor de un eje fijo a través del centro de esta esfera. Hay infinitas opciones de este eje, cada una de las cuales especifica un subgrupo (abeliano) isomorfo a $mathrmU(1)$.
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