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Grupo nilpotente generado finitamente donde cada elemento es de orden finito es finito

Diego, miembro de este gran equipo de trabajo, nos ha hecho el favor de redactar este tutorial porque domina a la perfección el tema.

Solución:

Sugerencia: primer paso de inducción: $G/[G,G]$ es un abeliano grupo que hereda cada elemento que tiene un orden finito y se genera finitamente. Por lo tanto, este grupo debe ser finito. Ahora mira $gamma_2(G)/gamma_3(G)$. Este grupo también es abeliano y tiene un índice finito (debido al paso anterior) en $G/gamma_3(G)$. Dado que también $G/gamma_3(G)$ se genera finitamente, $gamma_2(G)/gamma_3(G)$ debe generarse finitamente. De nuevo, $gamma_2(G)/gamma_3(G)$ es un grupo abeliano finitamente generado con todos los elementos de orden finito, de donde finito. ¿Puedes terminar?

Este es un buen problema porque no usa la inducción directamente, sino que lo prueba en varios pasos (solo uno de los cuales requiere inducción):

Paso 1: Si $Ntrianglelefteq G$ tal que $[G,N]le Z(G)$ y tanto $N$ como $G$ son generados por un número finito de elementos de orden finito, entonces $[G,N]$ también es generado por un número finito de elementos de orden finito.

(Esto se puede demostrar mediante la aritmética del conmutador).

Paso 2: Para $G$ como arriba, todos los elementos de la serie central inferior son generados por un número finito de elementos de orden finito.

(Esa es la parte que requiere inducción, pero por lo demás es una consecuencia trivial del paso 1).

Paso 3: Un grupo abeliano generado por un número finito de elementos de orden finito es finito.

(Esto también es trivial).

Poner los tres pasos juntos resuelve su problema.

Si conservas alguna cuestión y capacidad de refinar nuestro división puedes dejar una crítica y con mucho placer lo leeremos.

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