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Grupo infinito con orden de subgrupo abeliano acotado

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Para complementar la respuesta de Arturo:

Un famoso teorema de Ph. Hall es que todo grupo infinito localmente finito tiene un subgrupo abeliano infinito.

Como consecuencia, un grupo infinito cuyos subgrupos abelianos son finitos de orden acotado, tiene un subgrupo infinito generado finitamente, que claramente comparte la misma propiedad. Es, en particular, de exponente finito. Entonces, no hay un enfoque fácil para su pregunta.

Adian en 1979 probó que para impares $nge 665$ y todo $mge 2$el grupo Burnside $B(m,n)$ (grupo libre de exponente $n$ en $m$ generadores) es infinito y todos sus subgrupos abelianos son cíclicos (de ahí el orden $le n$).

Tenga en cuenta también que los grupos generados finitamente de exponentes finitos pueden tener infinitos subgrupos abelianos: por ejemplo, si $G$ es infinito, finitamente generado de exponente $n$ luego $(mathbfZ/pmathbfZ)wr G$ es finitamente generado de exponente $pn$ y tiene un subgrupo abeliano infinito de exponente $p$.

Los monstruos Tarski proporcionan ejemplos. Estos son (infinitos) grupos $G$ en el que todo subgrupo propio $H$ es trivial o cíclico de orden un primo fijo $p$. En particular, los únicos subgrupos abelianos son del orden $1$ o $p$.

Tales grupos existen para cada primo suficientemente grande, como lo muestra Olshanski'i. Son bigenerados, no abelianos, simples y una rica fuente de todo tipo de contraejemplos.

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