Si hallas algún error en tu código o trabajo, recuerda probar siempre en un entorno de testing antes añadir el código al proyecto final.
Solución:
Podría estar equivocado aquí, pero parece que $Kaprox. SO(2)veces SO(2)aprox. S^1veces S^1$ y que el mapa $Kto K/\pm I$ da una secuencia de fibras
$$\pm I\hookrightarrow Kto K/\pm I$$
que podemos corregir más topológicamente como una secuencia de fibras
$$S^0hookrightarrow S^1times S^1xrightarrow q K/\pm I$$
(si no sabe acerca de las fibraciones, en realidad solo estoy diciendo que $S^1veces S^1$ es un grado $2$ cubriendo el espacio de $K/\pm yo$). Ahora, conocemos la portada universal de $S^1veces S^1$ es $mathbb Rtimesmathbb Rxrightarrow p S^1times S^1$por lo que la cubierta universal de $K/\pm yo$ es
$$mathbb Rtimesmathbb Rxrightarrow pS^1times S^1xrightarrow qK/\pm I$$
y simplemente necesitamos determinar la fibra por encima de un punto. No es difícil ver que la fibra por encima de la identidad de $K/\pm yo$ es, usando más notación algebraica que topológica,
$$(mathbb Zoplusmathbb Z)cup(mathbb Zoplusmathbb Z+(1/2,1/2))=mathbb Z(1/2,1/2)oplusmathbb Z(1,0)$$
y así conseguimos que el $pi_1(K/\pm I)simeqmathbb Zoplusmathbb Z$ ya que es $pi_0$ de la fibra de $qcirc p$ que es el grupo discreto anterior.
Es bien sabido que:
Cualquier grupo de Lie abeliano compacto y conexo es isomorfo a algún $T^k$.
Ahora porque $K$ es compacto (¿por qué?), conexo y abeliano (¿por qué?), debe ser isomorfo a $T^k$ por $k=dim (K)= 1+1=2$. es decir $K=Bbb S^1veces Bbb S^1$.
Como el argumento de @JasonDeVito en esta publicación:
$mathbbZ/2mathbbZsubseteq T^2$ generado por $langle (pi, pi)rangle$ (tenga en cuenta que $-Isim tau(x,y):=(x+pi,y+pi)$) es normal (ya que $T^2$ es abeliana, por lo que podemos formar el cociente $K’:=T^2/(mathbbZ/2mathbbZ)$). Siendo la imagen homomórfica continua de $T^2$, $K’$ debe ser un grupo de Lie abeliano compacto, por lo que debe ser isomorfo a $T^2$ como un grupo de mentira. En particular, $K’$ es difeomorfo a $T^2$.
Asi que $pi_1(K’)=pi_1(T^2)$.
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