este problema se puede solucionar de diferentes maneras, pero nosotros te damos la respuesta más completa en nuestra opinión.
Solución:
Primero observe que los generadores son $-isigma_k/2$ y $-iL_k$, ya que los grupos son verdadero Los grupos de mentiras y, por lo tanto, el tensor de estructura deben ser verdadero.
La respuesta a tu pregunta es positiva. En principio basta tomar la exponencial del isomorfismo del álgebra de Lie y surge un homomorfismo de grupo de Lie sobreyectivo de esta forma $phi : SU(2)to SO(3)$: $$phileft(expleft -sum_k t^kisigma_k/2right\right) =expleft-sum_k t^k iL_kright\:.$$ El punto es que uno debe estar seguro que el argumento del lado izquierdo cubre a todo el grupo. Para el caso considerado, esto es true porque $SU(2)$ es compacto.
Si, en cambio, no considera grupos de Lie compactos, como $SL(2,mathbb C)$, la exponencial no cubre el grupo. Sin embargo, es posible probar que los productos de exponencial sí. En ese caso es suficiente un producto de dos exponenciales, en la práctica descomponiendo un elemento de $SL(2,mathbb C)$ mediante la descomposición polar, matemáticamente hablando, o como un (único) producto de una rotación y un impulso físicamente hablando.
Así que supongo que es claramente consciente de que la gran representación de A Adjoint es el homomorfismo que busca en este caso, por lo que está buscando un método más general.
Además, supongo que sabe que el homomorfismo de las álgebras de Lie solo puede elevarse a un homomorfismo de grupo si el dominio del homomorfismo está simplemente conectado, en cuyo caso hay un homomorfismo de grupo único con el homomorfismo de álgebra dado como su mapa de Lie. En este caso, estamos limpios porque $SU(2)$ simplemente está conectado. Página 73 a la 76 de:
Anthony Knapp, “Grupos de mentiras más allá de una introducción”
entonces puede ayudarte. Knapp le brinda dos métodos para construir sistemáticamente el grupo de Lie simplemente conectado: el primero lo deja con ecuaciones diferenciales para los campos vectoriales invariantes izquierdo / derecho, el segundo creo que es lo mismo que la respuesta de V. Moretti.
Un “método” final es utilizar el teorema de Ado, que nos asegura que siempre podemos realizar un álgebra de Lie como un álgebra de Lie matricial; incluso hay un algoritmo de software explícito para esto:
WA De Graaf, “Construcción de representaciones matriciales fieles de álgebras de mentira”
pero si puede entender este algoritmo, lo está haciendo mejor que yo (este documento hasta ahora me ha derrotado). Una vez que tenga un álgebra matricial, puede usar la matriz exponencial para construir una vecindad de la identidad, de hecho, todo el grupo si este último es compacto; como en la Respuesta de V. Moretti, el álgebra de Lie no se exponen a todo el grupo para grupos no compactos (que yo sepa, el problema de qué exactamente en un grupo de Lie no compacto se puede realizar como exponencial de un elemento de álgebra de Lie es hasta cierto punto sigue siendo un problema abierto).
Entonces, una vez que tenga el grupo de Lie, en principio puede construir la cubierta universal con clases de homotopía y tallar el centro discreto $mathcalZ_d$ de la cubierta universal. Tu grupo original tendrá como grupo fundamental el grupo cociente de $mathcalZ_d$ y uno de sus subgrupos (normales).
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