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Grupo abeliano finito cuyo grupo de automorfismos es algún grupo lineal general

Posterior a de una larga selección de información resolvimos esta incógnita que tienen algunos de nuestros usuarios. Te compartimos la respuesta y esperamos serte de mucha apoyo.

Solución:

Teorema: Dejar $p$ ser primo y $G$ ser un $p$-grupo. Si $rm Aut(G)$ es isomorfo a $GL(n,p)$ para algún entero positivo $n$después $G$ es un grupo abeliano elemental de orden $p^n$.

Referencia: Grupos lineales generales como grupos de automorfismos

Permítanme escribir un par de pensamientos (todavía no es una respuesta adecuada) y volveré a este problema un poco más tarde, ya que tengo que irme ahora.

Primero, el grupo de automorfismos de un $p$-el grupo nunca es trivial a menos que el grupo tenga orden $2$.

En segundo lugar, dado que un grupo abeliano es el producto directo de sus subgrupos de Sylow, y dado que los grupos de automorfismos se comportan bien con respecto a los productos directos de grupos de órdenes coprimos, se deduce que el grupo de automorfismos de un grupo abeliano es el producto directo de los grupos de automorfismos de sus subgrupos de Sylow.

En tercer lugar, ningún grupo lineal general es directamente descomponible, es decir, no se puede escribir un grupo lineal general como producto directo de subgrupos propios.

Entonces, si hay un contraejemplo mínimo, entonces debe ser un $p$-grupo.

En este punto, necesita saber cómo encontrar el orden (pero quizás no necesariamente la estructura) del grupo de automorfismos de un abeliano $p$-grupo. Esto viene dado por el Teorema 4.1 de este artículo.

Asumiendo que $G = C_p^e_1 times ldots times C_p^e_r$dónde $e_1 leq ldots leq e_r$tenemos

$$lvert operatornameAut(G) rvert = prod_k=1^r(p^d_k-p^k-1)prod_j=1^rp^ e_j(r-d_j)prod_i=1^rp^(e_i-1)(r-c_i+1),$$
dónde $d_k = nombre del operadormáxs:e_s=e_k$ y $c_k = nombre del operadormins:e_s=e_k$por $1 leq k leq r$.

También estamos asumiendo que $lvert operatornameAut(G) rvert = lvert operatornameGL_n(2) rvert$ para algún entero positivo $n>1$. Así, el problema se reduce esencialmente a mostrar que si
$$lvert operatornameAut(G) rvert = prod_k=1^r(p^d_k-p^k-1)prod_j=1^rp^ e_j(r-d_j)prod_i=1^rp^(e_i-1)(r-c_i+1) = lvert operatornameGL_n(2) rvert = 2^ fracciónn(n-1)2prod_i=1^n (2^i-1),$$
después $p =2$, $n=r$ y $e_1 = ldots = e_r=1$.

Dejar $$p^A =prod_j=1^rp^e_j(r-d_j)prod_i=1^rp^(e_i-1)(r-c_i+1).$ ps
Después $$p^Ap^fracr(r-1)2prod_k=1^r(p^d_k-(k-1)-1) = 2^ fracciónn(n-1)2prod_i=1^n (2^i-1).$$

Usando el resultado citado por Dietrich Burde, podemos suponer que $p>2$. Después $2^fracn(n-1)2$ hay que dividir la cantidad $prod_k=1^r(p^d_k-(k-1)-1)$. Recogeré esto mañana.


No estoy seguro de que este enfoque lleve a ninguna parte. Mientras tanto, le mencioné este problema a Marty Isaacs y lo destruyó sin esfuerzo. Aquí está su solución:

Suponer que $G$ es abeliano finito pero no abeliano elemental $2$-grupo y tal que $nombre del operadorAut(G) cong nombre del operadorGL_n(2)$, $n>1$. El mapa $g a g^-1$ es un automorfismo de $G$tiene orden $2$ (ya que $G$ no es un abeliano elemental $2$-grupo) y se encuentra en el centro de $nombre del operadorAut(G)$ (Mira esto). Pero $nombre del operadorGL_n(2)$ tiene centro trivial, contradicción. De este modo $G$ es un abeliano elemental $2$-grupo y desde la secuencia $lvert nombre del operadorGL_n(2) rvert$ es estrictamente creciente en $n$obtenemos $|G| = 2^n$ de este modo $G cong C_2^n$.

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