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Gradiente, divergencia y rotacional con derivadas covariantes

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Solución:

Para el gradiente, su error es que los componentes del gradiente varían de forma contravariante. Además de eso, hay un problema con la normalización que analizo a continuación. No sé si estás familiarizado con la geometría diferencial y cómo funciona, pero básicamente, cuando escribimos un vector como $v^mu$ realmente estamos escribiendo sus componentes con respecto a una base.

En geometría diferencial, los vectores son entidades que actúan sobre funciones $f : M rightarrow mathbbR$ definidas en la variedad. Dime si quieres que explique más, pero esto implica que los vectores base dados por algún conjunto de coordenadas son $partial_mu = fracpartialpartial x^mu$ y varían covariantemente. Llamemos a esos vectores base $e_mu$ para volver a la notación de álgebra lineal "familiar".

Sabiendo eso, cualquier vector es un invariante que se puede escribir como $vecV = V^mu partial_mu$. los key aquí está que es invariante, por lo que será el mismo sin importar la base de coordenadas que elija.

Ahora, el gradiente se define en el espacio euclidiano simplemente como el vector con coordenadas $partial_i f = partial^if$ donde $i = x,y,z$. Tenga en cuenta que en coordenadas cartesianas, los componentes covariantes y contravariantes son los mismos. Entonces, la cantidad invariante es $vecnablaf = partial^ife_i$. Tenga en cuenta que, por lo que hicimos antes, las componentes de un vector deben tratarse como contravariantes.

Ahora, dado que esta expresión es invariante, obtenemos, en general, las coordenadas $vecnablaf = parcial^mu fe_mu$. Entonces, lo que está buscando al calcular los componentes es $partial^mu f = g^munufracpartial fpartial x^nu$. Esto da $vecnablaf = fracparcial fparcial r e_r + frac1r^2fracparcial fparcial theta e_ theta +frac1r^2 sin^2thetafracparcial fparcial phi e_phi$. Esto todavía no es lo que estamos buscando.

Esto se debe a que los vectores base no están normalizados. De hecho, tome un vector específico $e_I$. Sus componentes son $delta^mu_I$ por definición (es un vector base). Entonces, $|e_I|^2 = e_I^mu e_I^nu g_munu = g_II$. Genial entonces ! Usando $e_i' = e_i/sqrtg_ii$ como vectores base normalizados, obtenemos la respuesta correcta: $vecnablaf = fracpartial fpartial r e_r' + frac1rfracparcial fparcial theta e_theta' +frac1r sinthetafracparcial fparcial phi e_phi'$

Pasemos a la divergencia. Parece más fácil ya que es un escalar, no hay un vector base con el que jugar. Bueno, en realidad todavía hay algunos problemas relacionados con eso. Tu fórmula es correcta, nuevamente, excepto que cuando escribes la fórmula invariable $nabla_mu V^mu$ implícitamente usas la base que definimos anteriormente. Esto significa que no está trabajando de forma normalizada. Sabemos que el $vecV$ que usaste es $vecV = V^mu e_mu = V^mu sqrtg_mumue_mu'$. Entonces, para comparar la fórmula, debe introducir el vector con respecto a las coordenadas normalizadas, $A^mu= V^musqrtg_mumu$. Te dejaré conectarlo en tu fórmula (correcta) para ver si funciona.

Para concluir, su fórmula para el rizo debería ser correcta. Solo tenga cuidado de usar las normalizaciones correctas para los vectores y debería estar bien (también tenga cuidado con la forma tensorial del tensor levi-civita, que involucra el determinante de la métrica). No tengo la fe para hacer los cálculos por ti, pero definitivamente deberías intentarlo para asegurarte de que lo entendiste bien.

PD: solo para completar, para la divergencia hay una fórmula bastante útil que también se usa en el libro de Sean Caroll: $vecnablacdotvecV = frac1sqrtg partial_mu(sqrtgV^mu)$, útil cuando eres demasiado perezoso para calcular Christoffels.

El gradiente es un vector, no un covector, por lo tanto:

beginecuación vecnabla f = nabla^mu f = g^munu nabla_nu f = g^munu parcial_nu f end ecuación

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