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$|G|=p(p+1)$ para $p$ primo, entonces $G$ tiene un subgrupo normal de orden $p$ o $p+1$

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Sea $S$ el conjunto de elementos que no pertenecen a ningún subgrupo $p$ de Sylow de $G$. Ha demostrado mediante un argumento de conteo que $|S|=p$. Sea $q$ cualquier primo que divida a $p+1$. Entonces $S$ debe contener algún elemento $g$ de orden $q$.

Como $n_p=p+1$, tenemos $N_G(P) = P$, entonces $g notin N_G(P)$. Sea $x$ un generador de $P$. Entonces las potencias $x,x^2,ldots, x^p-1$ de $x$ generan $P$, por lo que ninguna de ellas puede centralizar $g$. Por lo tanto, los elementos $p$ $ g, g^x,g^x^2, ldots, g^x^p-1 $ (donde $g^h$ significa $hgh ^-1$) son todos distintos. Como todos tienen el orden $q$, todos se encuentran en $S$, por lo que $S = { g, g^x,g^x^2, ldots, g^{x^{p-1 ps

Entonces cada elemento de $S$ tiene orden $q$, y por lo tanto $q$ debe ser el único primo que divide a $p+1$, entonces $p+1$ es una potencia de $q$, y $S cup 1 $ debe ser el único subgrupo Sylow $q$ de $G$.

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